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1. Introduzione#
In questo mondo nulla si può dire certo,
tranne la morte e le tasse-- Benjamin Franklin
La citazione che apre questo paragrafo è tratta da una lettera scritta nel 1789 da Benjamin Franklin (vedi Figura 1), uno dei padri fondatori degli Stati Uniti d'America. Se accettiamo questa massima, spesso chiamata legge di Franklin [1], vale la pena studiare l'incertezza, perché praticamente tutto è incerto. Ironicamente, la validità della stessa legge di Franklin non è scontata: basti pensare, per esempio, al fenomeno dell'evasione fiscale, o al fatto che chi risiede nel Principato di Monaco non paga le tasse.
Figura 1 Raffigurazione di Benjamin Franklin sulle banconote da 100 dollari statunitensi (immagine di E. Strauhmanis, distribuita sotto licenza CC BY 2.0)#
In realtà il concetto di incertezza è difficile da definire, perché presenta molte sfaccettature e assume significati diversi a seconda del contesto. In questo libro mi concentrerò su una sua specifica accezione, spesso indicata con il termine casualità. In termini semplici — e quindi decisamente perfettibili — possiamo identificare la casualità come la proprietà che caratterizza un'esperienza che, anche se ripetuta nelle stesse condizioni, produce un risultato non prevedibile a priori. In modo (per ora) informale, chiamiamo eventi delle affermazioni che riguardano i risultati di queste esperienze. Il loro valore di verità sarà dunque incerto. Un esempio classico di evento riguarda il risultato del lancio di un dado durante una partita a Monopoli. Un altro esempio, altrettanto classico ma più moderno, considera il valore di chiusura di un indice di borsa. Ma potremmo aggiungerne molti altri: oggi pioverà, se scrutando il cielo al mattino vediamo nuvole all'orizzonte? Quanti nipoti avrà la sorella del mio vicino di casa? L'anno prossimo riuscirò a superare la stagione influenzare ammalandomi al massimo una volta? In effetti, non è difficile rendersi conto del fatto che la casualità — o, se preferite, il non-determinismo — permea la nostra vita quotidiana. E ha anche un ruolo essenziale nella descrizione di alcuni aspetti fondamentali della Natura, come la teoria dell'evoluzione o la meccanica quantistica.
Nonostante ciò, impariamo presto a convivere abbastanza bene con l'incertezza: uscendo di casa, sappiamo quasi sempre se conviene portare con noi un ombrello, e alcune persone riescono anche a speculare con successo giocando in borsa. Questo accade perché siamo in grado di valutare l'incertezza di parecchi eventi, accettando il rischio che la nostra valutazione comporta. Tornando all'esempio del cielo nuvoloso, il rischio è quello di portare un ombrello inutilmente, oppure di finire sotto la la pioggia senza averlo con sé. Di solito, le decisioni che prendiamo si basano su criteri ampiamente soggettivi, fondati sulla nostra esperienza. La matematica ci fornisce però degli strumenti per affrontare questo problema in modo rigoroso. In particolare, combinando il calcolo delle probabilità e la statistica possiamo modellare l'incertezza degli eventi ed effettuarne una valutazione utilizzando l'esperienza che abbiamo acquisito.
Lo scopo di questo libro è proprio quello di fornire le basi di queste due branche della matematica, adottando un approccio interattivo e incentrato sull'analisi dei dati, pensato per studenti che abbiano già maturato competenze nella programmazione dei calcolatori. Il contenuto è stato pensato per studenti dei corsi di laurea in area informatica, ma è sicuramente adatto a tutti i percorsi formativi che prevedono almeno un insegnamento obbligatorio di programmazione.
Il lavoro è organizzato in quattro parti:
la prima introduce il linguaggio di programmazione Python e il relativo data science stack, cioè l'insieme delle principali librerie per l'analisi dei dati;
la seconda affronta il tema della statistica descrittiva, che ci fornisce strumenti per organizzare e analizzare le osservazioni di fenomeno, allo scopi di estrarre informazione (la base dell'esperienza sopra menzionata);
la terza descrive i fondamenti del calcolo delle probabilità, intesa come disciplina che permette di quantificare l'incertezza degli eventi;
la quarta e ultima parte si concentra sulle basi della statistica inferenziale, fornendo strumenti che supportano le decisioni in condizioni di incertezza, sfruttando gli strumenti introdotti nelle parti precedenti.
Ognuna di queste parti, considerata da sola, riempirebbe un intero libro di testo — anche più di uno! Per questo motivo, mi limiterà ad affrontare i concetti fondamentali delle discipline considerate, limitando gli approfondimenti e garantendo comunque che il libro resti fruibile senza ricorrere a fonti esterne. Ove possibile, presenterò anche alcuni aspetti avanzati, tipici del machine learning, basati sui concetti e sugli strumenti descritti nei capitoli precedenti.