19.3. Misure di centralità

Nel Paragrafo 19.2 abbiamo visto che la funzione di massa di probabilità descrive completamente una variabile aleatoria discreta: una volta nota \(p_X\), possiamo in linea di principio ricavare tutto ciò che c'è da sapere su \(X\). Spesso, però, non vogliamo lavorare con l'intera distribuzione, ma preferiamo concentrarci su alcuni suoi aspetti specifici, quantificandoli tramite degli indici che permettono di riassumere la distribuzione stessa tramite pochi numeri, facili da interpretare e da confrontare. Il primo aspetto che viene introdotto riguarda la centralità della distribuzione, anche noto come tendenza centrale o posizione, e che si può informalmente definire come la collocazione dei valori della variabile rispetto all'intero asse reale. Poter quantificare questa informazione permette di valutare per esempio di quanto il reddito degli abitanti di una nazione superi la soglia di povertà, o di confrontare il livello di forza tra gli eroi Marvel e DC, o di modellare il carico di un server in determinate condizioni. Sebbene esistano vari modi di misurare la centralità di una distribuzione, quelli più utilizzati nei testi introduttivi sono il valore atteso, la mediana e la moda, a cui sono dedicati i paragrafi successivi.

19.3.1. Valore atteso

Il valore atteso è il primo indice di sintesi di una variabile aleatoria che incontriamo: un singolo numero che ne riassume la posizione tipica, riducendo l'intera funzione di massa a un solo numero.

Tra gli indici che misurano la centralità di una distribuzione, il valore atteso è quello che viene tradizionalmente introdotto per primo, e al quale viene dedicato più spazio. Questo indice permette di rispondere a una domanda molto naturale: se la variabile aleatoria tante volte, attorno a che quantità tenderebbero a posizionarsi i valori ottenuti?

Definizione 31 (Valore atteso)

Sia \(X\) una variabile aleatoria discreta con supporto \(S_X\) e funzione di massa di probabilità \(p_X\). Il valore atteso di \(X\) (detto anche media o aspettazione) è il numero

(19.6)\[\mathbb E(X) = \sum_{x \in S_X} x\, p_X(x) \enspace,\]

definito ogni volta che la serie a destra converge assolutamente. Quando ciò non si verifica, si dice che \(X\) non ammette valore atteso.

Il valore atteso è quindi una funzione che associa un numero a una variabile aleatoria, dunque è la funzione di una funzione. In casi come questi (un altro esempio è quello dell'integrale definito), si usa spesso parlare di operatori, per enfatizzare che gli argomenti coinvolti non sono numeri, ma oggetti matematici più complessi.

Figura 40 Ritratto di Karl Pearson (Fotografia di autore sconosciuto, 1910. Immagine di pubblico dominio. Fonte: Wikimedia Commons).

_

Esattamente come per \(\mathbb P\), l'uso di \(\mathbb E\) per indicare l'operatore di valore atteso è soltanto una tra le scelte possibili: nei testi di probabilità sono comunemente adottate anche notazioni alternative, come \(\mathbf{E}\), \(\mathrm E\) oppure \(E\). Anche in questo caso, inoltre, l'argomento dell'operatore è talvolta racchiuso tra parentesi quadre, scrivendo per esempio \(\mathbb{E}[X]\), anziché tra parentesi tonde. Io ho scelto di utilizzare queste ultime, per mantenere una notazione coerente con quella impiegata per altri operatori, come la varianza, che sarà introdotta nel paragrafo seguente.

Il valore atteso di \(X\) viene spesso indicato anche con il simbolo \(\mu_X\), e quando la variabile aleatoria a cui ci si riferisce è chiara dal contesto, il pedice viene omesso e si scrive semplicemente \(\mu\). Questa notazione è decisamente più leggera, ma presenta alcuni inconvenienti. L'espressione \(\mu_X\) indica infatti una quantità associata alla variabile aleatoria, «nascondendo» il particolare operatore che vi è stato applicato; risulta quindi meno naturale quando l’argomento è un’espressione composta, come \(X+Y\) o \(a X + b\). Inoltre, vedremo che la lettera \(\mu\) può essere impiegata per denotare un parametro di una distribuzione, e ciò può generare ambiguità. Nel seguito, farò riferimento a entrambe le notazioni, scegliendo di volta in volta tra \(\mathbb E(X)\), \(\mu_X\) e \(\mu\) in funzione di quella che ritengo la soluzione nel contempo più chiara ed elegante.

Vale la pena richiamare all'attenzione l'origine storica di questo tipo di notazione. Come per \(\mathbb P\), l'uso di \(\mathbb E\) e delle sue varianti è anche dettato dagli strumenti tipografici e alla loro evoluzione nel tempo. Le prime tracce risalgono all'inizio del \(1900\), con l'uso dello stile calligrafico \(\mathcal E\), poi mutato in \(E\), \(\mathbf E\) e via discorrendo, per arrivare solo recentemente a \(\mathbb E\). La scelta della lettera E è verosimilmente dovuta a una comunanza nelle terminologie in lingua inglese (expectation), francese (expérance mathématique) e tedesca (Erwartung).

Per quanto riguarda \(\mu\), invece, il percorso è diverso: questo simbolo fu introdotto da Karl Pearson nella fine del \(1800\) per indicare i momenti di una distribuzione (vedi Paragrafo 19.5), presumibilmente per assonanza tra la lettera greca e l'iniziale di moment, e solo verso la metà del \(1900\) si iniziò a diffondere il suo uso specificamente per indicare il valore atteso (che, come vedremo, è un particolare momento).

Valore atteso e misurabilità

Vale la pena di osservare che la definizione di valore atteso coinvolge soltanto il supporto \(S_X\) e la funzione di massa \(p_X\), e non lo spazio campionario \(\Omega\) da cui \(X\) ha origine. Possiamo procedere così perché ogni scrittura della forma \(\{ X = x \}\) individua davvero un evento, dotato di una probabilità: è precisamente ciò che garantisce la condizione di misurabilità richiesta dalla Definizione 25. È dunque la misurabilità a permetterci di «dimenticare» \(\Omega\) e di riassumere una variabile aleatoria attraverso grandezze (come, appunto, il valore atteso) calcolate direttamente sulla sua distribuzione. Nel caso discreto questa condizione è sempre soddisfatta, ma è su di essa che si regge l'intera costruzione.

Quando \(X\) può assumere un numero relativamente basso di valori e la sua funzione di massa di probabilità è nota, risulta agevole calcolare \(\mathbb E(X)\) applicando direttamente la definizione precedente, come nell'esempio che segue.

Esempio 74 (Un passaggio sotto la porta)

Flatman, dei Great Lakes Avengers, prova ad appiattirsi per infilarsi sotto una porta blindata. L'operazione riesce con probabilità \(p \in (0, 1)\) e fallisce con probabilità \(1 - p\). Se indichiamo con \(X\) la variabile aleatoria che vale \(1\) se Flatman passa e \(0\) altrimenti, avremo \(p_X(1) = p\) e \(p_X(0) = 1 - p\). Applicando la Definizione 31,

\[\mathbb E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \enspace.\]

Ogni volta che una variabile assume solo i valori \(0\) e \(1\), il suo valore atteso coincide dunque con la probabilità di valere \(1\): se \(p = \tfrac{1}{2}\), allora \(\mathbb E(X) = \tfrac{1}{2}\); se \(p = \tfrac{2}{3}\), allora \(\mathbb E(X) = \tfrac{2}{3}\) e così via. Ciò significa che, a parte i casi degeneri in cui \(p = 0\) oppure \(p = 1\), il valore atteso non è una realizzazione della variabile aleatoria: \(X\) può assumere soltanto i valori \(0\) e \(1\), mentre \(\mathbb E(X)\) può essere qualunque numero reale compreso tra questi due estremi.

Quando il numero di realizzazioni cresce, l'applicazione diretta di (19.6) può diventare più complicata. Non sempre, però, è necessario procedere in tal senso: a volte il valore atteso si può calcolare senza nemmeno sommare, riconoscendo una simmetria nella distribuzione, come nel caso dell'esempio seguente.

Esempio 75 (Una distribuzione simmetrica)

Riprendiamo la variabile \(X\) dell'Esempio 66, la differenza tra i punteggi di due dadi equilibrati, con supporto \(S_X = [-5 .. 5]\) e funzione di massa

\[p_X(x) = \tfrac{6 - |x|}{36} 𝟙_{S_X}(x) \enspace.\]

Questa funzione è simmetrica rispetto all'origine, nel senso che \(p_X(-x) = p_X(x)\) per ogni \(x\). Nel calcolo di

\[\mathbb E(X) = \sum_{x = -5}^{5} x\, p_X(x)\]

ogni addendo relativo a un valore positivo \(x\) è bilanciato esattamente dall'addendo opposto \(-x\), che ha la stessa massa, e quindi i due termini si cancellano a vicenda. Quindi, ciò che resta è solo il termine che corrisponde a \(x = 0\), che è anch'esso nullo. Senza bisogno di svolgere i conti in modo esplicito, si ha dunque \(\mathbb E(X) = 0\). Più in generale, si può dimostrare che il valore atteso di una variabile la cui massa di probabilità è simmetrica attorno a un punto \(c\) vale proprio \(c\).

Valore atteso e convergenza assoluta

Quando il supporto \(S_X\) è finito, (19.6) esprime la somma di un numero finito di addendi, che esiste sempre. Se invece \(S_X\) è infinito numerabile, la faccenda è più delicata: è necessario calcolare il valore di una serie, e non è affatto garantito che questa converga. Da una parte, c'è la possibilità che il risultato diverga a più o meno infinito. Dall'altra, i termini dipendono dai valori dei punti di massa, quindi possono essere sia positivi, sia negativi, con effetti potenzialmente sorprendenti: cambiando l'ordine degli addendi, la serie può convergere a valori diversi, divergere o anche risultare indefinita. Per garantire che \(\mathbb E(X)\) sia be definito, la Definizione 31 richiede quindi la convergenza assoluta della serie, cioè

\[\sum_{x \in S_X} |x|\, p_X(x) \in \mathbb R \enspace.\]

Ciò garantisce anche la convergenza semplice della serie, implicando che il valore atteso sia univocamente determinato.

Esistono variabili aleatorie perfettamente legittime per cui questa condizione non vale[1] e per cui il valore atteso semplicemente non è definito[2]. Negli esempi che proporrò in questo libro, però, la convergenza non sarà mai un problema: lo segnalo qui una volta per tutte, così da poter procedere con la coscienza a posto.

Applicando (A.9), si verifica che \(\sum_{n \in S_N}p_N(n) = \tfrac{1}{\mathrm e}\sum_{n=0}^{+\infty}\tfrac{1}{n!} = 1\).

Nel penultimo passaggio è stata applicata all'indice della sommatoria la trasformazione \(n \mapsto m + 1\), che equivale a \(m \mapsto n - 1\).

Esempio 76

Consideriamo la variabile aleatoria \(N\) avente \(S_N = \mathbb N \cup \{0 \}\) come supporto e funzione di massa di probabilità definita nel modo seguente:

\[p_N(n) = \frac{1}{\mathrm e n!} 𝟙_{S_N}(n) \enspace. \]

L'applicazione della Definizione 31 per ottenere \(\mathbb E(N)\) richiede in questo caso di calcolare il valore di una serie:

\[\mathbb E(N) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{\mathrm e n!} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{\mathrm e n!} = \mathrm e \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \mathrm e \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{1}{m!} = 1 \enspace.\]

È importante sottolineare una cosa: il fatto che i valori di \(X\) si trovino in un intorno di \(\mathbb E(X)\) non implica assolutamente che essi si concentrino attorno a esso: a seconda dei casi, i valori possono essere più o meno vicini (o lontani) dal valore atteso.

I termini «valore atteso» e «aspettazione» possono trarre in inganno, perciò conviene fissarne subito il significato: ricordando che i valori di probabilità sono non negativi e che la loro somma è uguale a uno, \(\mathbb E(X)\) non è altro che una media pesata dei valori di \(X\), in cui il peso di ciascuna realizzazione è la probabilità con cui essa si presenta. Pertanto \(\mathbb E(X)\) indica il baricentro delle osservazioni di \(X\), espresso in funzione delle masse di probabilità corrispondenti, non un valore che è ragionevole ottenere quando si osserva \(X\). L'informazione contenuta in \(\mathbb E(X)\) riguarda invece la centralità della distribuzione: come già messo in evidenza nell'Esempio 74, può benissimo capitare che il valore atteso non appartenga nemmeno al supporto di \(X\), proprio perché si tratta di un indice di posizione che esprime quanto i valori osservati tendano a essere grandi (o piccoli). In altre parole, \(\mathbb E(X)\) rappresenta un numero attorno al quale si dispongono i valori di \(X\).

Esempio 77

Sia \(X\) la variabile aleatoria che indica il punteggio ottenuto lanciando un dado bilanciato a sei facce. La sua funzione di massa di probabilità è tale che \(p_X(x) = \tfrac{1}{6} 𝟙_{[1 .. 6]}(x)\), e il suo valore atteso è

\[\mathbb E(X) = \sum_{i = 1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} i = \frac{1}{6} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2} = \frac{7}{2} \enspace.\]

Questo conferma, ancora una volta, che il valore atteso non va inteso come il risultato che ci si aspetta di ottenere — non esiste alcuna faccia con \(3.5\) pallini — bensì come il baricentro della distribuzione. In questo caso, \(\mathbb E(X)\) si posiziona esattamente a metà tra la più piccola e la più grande delle realizzazioni: ciò è conseguenza del fatto che tutti i punti di massa hanno la stessa probabilità. Se \(\mathbb E(X)\) fosse più grande di \(\tfrac{7}{2}\), ciò significherebbe che il dado tende a cadere più spesso mostrando un punteggio elevato; se fosse più piccolo di \(\tfrac{7}{2}\), sarebbero i punteggi più bassi a essere osservati più frequentemente. In entrambi i casi, ciò sarebbe in contrasto con il fatto che il dado è bilanciato.

Il valore atteso è sempre espresso nella stessa unità di misura dei valori della corrispondente variabile aleatoria, come esemplificato di seguito.

Esempio 78

Sia \(X\) la variabile aleatoria che indica l'altezza del supereroe che compare per primo in una serie consigliata da un sistema di streaming. Se i valori di \(X\) sono espressi in centimetri, allora \(\mathbb E(X)\) è una lunghezza espressa nella stessa unità di misura.

Vale la pena notare che questa interpretazione non si limita alle variabili aleatorie discrete, come vedremo nel Paragrafo 21.2.

Non è un caso che, nello studio delle variabili aleatorie discrete, ricorrano termini come massa di probabilità e concetti come baricentro. Questa nomenclatura, adottata fin dalle origini della teoria delle probabilità[3], riflette un profondo parallelismo con la meccanica: come ho già osservato nel Paragrafo 19.2, una distribuzione di probabilità può essere interpretata come una distribuzione di massa totale unitaria, il cui baricentro coincide con il valore atteso. Il grafico nella Figura 41 rende visibile un altro aspetto di questa corrispondenza, concentrandosi su una variabile aleatoria \(X\) simile e quella dell'esempio precedente, nel senso che essa descrive l'esito del lancio di un dado. Se immaginiamo la retta reale come un asse e collochiamo in ogni punto \(x \in S_X\) una massa di valore \(p_X(x)\), allora il valore atteso coincide con la posizione del baricentro del sistema anche da un punto di vista fisico: se l'asse fosse appoggiato su un cuneo posizionato in \(\mathbb E(X)\), resterebbe in equilibrio. Il grafico permette di modificare sia le singole masse di probabilità sia la posizione del cuneo. L'inclinazione dell'asse viene aggiornata di conseguenza e il cuneo cambia colore quando il sistema è in equilibrio.

\(p_1 = \)0.167

\(p_2 = \)0.167

\(p_3 = \)0.167

\(p_4 = \)0.167

\(p_5 = \)0.167

\(p_6 = \)0.167

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.patches import Circle, Polygon
from pyscript import display
from pyscript.web import page, when


mass_positions = np.arange(1, 7, dtype=float)
weight_ids = [f'#mass-weight-{index}' for index in range(1, 7)]
probability_ids = [f'#mass-prob-{index}' for index in range(1, 7)]
fig_balance, ax_balance = plt.subplots(figsize=(7, 3.8))
beam_height = 0.0
mass_radius_scale = 0.29
graph_height = '230px'


def rotate_points(x_values, y_values, pivot_x, angle):
   x_values = np.asarray(x_values, dtype=float)
   y_values = np.asarray(y_values, dtype=float)
   cos_angle = np.cos(angle)
   sin_angle = np.sin(angle)
   shifted_x = x_values - pivot_x

   rotated_x = pivot_x + cos_angle * shifted_x - sin_angle * y_values
   rotated_y = sin_angle * shifted_x + cos_angle * y_values
   return rotated_x, rotated_y


def get_probabilities():
   relative_weights = np.array([float(page[weight_id][0].value)
                                for weight_id in weight_ids])
   probabilities = relative_weights / relative_weights.sum()
   return probabilities


def update_probability_labels(probabilities):
   for probability_id, probability in zip(probability_ids, probabilities):
      page[probability_id][0].innerHTML = f'{probability:.3f}'


def render_balance():
   ax_balance.clear()
   graph_container = page['#graph-1'][0]
   graph_container.style.display = 'flex'
   graph_container.style.justifyContent = 'center'
   graph_container.style.alignItems = 'center'
   graph_container.style.height = graph_height
   graph_container.style.overflow = 'hidden'
   graph_container.parentElement.style.float = 'none'
   graph_container.parentElement.style.margin = '0 auto'
   graph_container.parentElement.style.width = '100%'
   graph_container.parentElement.style.height = graph_height
   graph_container.parentElement.style.overflow = 'hidden'

   pivot = float(page['#balance-pivot'][0].value)
   probabilities = get_probabilities()
   expected_value = np.dot(mass_positions, probabilities)
   mass_radii = mass_radius_scale * np.sqrt(probabilities)

   page['#balance-pivot-value'][0].innerHTML = f'{pivot:.2f}'
   page['#balance-expected-value'][0].innerHTML = f'{expected_value:.2f}'
   update_probability_labels(probabilities)

   is_balanced = abs(pivot - expected_value) < 0.05
   if is_balanced:
       angle =  0.0
   else:
       angle = np.clip(0.22 * (pivot - expected_value), -0.45, 0.45)
   wedge_color = '#c17f24' if is_balanced else '#6085a6'

   wedge = np.array([
      [pivot - 0.28, -0.65],
      [pivot + 0.28, -0.65],
      [pivot, 0.0],
   ])
   ax_balance.add_patch(Polygon(wedge, closed=True, facecolor=wedge_color,
                                edgecolor='none', zorder=1))

   beam_x, beam_y = rotate_points([0.5, 6.5], [beam_height, beam_height],
                                  pivot, angle)
   ax_balance.plot(beam_x, beam_y, color='#010177',
                   linewidth=4, solid_capstyle='round', zorder=2)

   tick_bottom_x, tick_bottom_y = rotate_points(mass_positions,
                        np.full(6, beam_height - 0.08), pivot, angle)

   tick_top_x, tick_top_y = rotate_points(mass_positions,
                        np.full(6, beam_height + 0.08), pivot, angle)

   for x0, y0, x1, y1 in zip(tick_bottom_x, tick_bottom_y,
                             tick_top_x, tick_top_y):
      ax_balance.plot([x0, x1], [y0, y1],
                      color='#010177', linewidth=1.2, zorder=2)

   label_x, label_y = rotate_points(mass_positions,
                        np.full(6, beam_height - 0.28), pivot, angle)

   for value, x_coord, y_coord in zip(range(1, 7), label_x, label_y):
      ax_balance.text(x_coord, y_coord, f'{value}',
                      ha='center', va='center', fontsize=10, color='#010177')

   mass_x, mass_y = rotate_points(mass_positions,
                                  beam_height + mass_radii, pivot, angle)

   for x_coord, y_coord, mass_radius in zip(mass_x, mass_y, mass_radii):
      ax_balance.add_patch(Circle((x_coord, y_coord), mass_radius,
                                  facecolor='#006699', edgecolor='white', linewidth=1.5, zorder=3))

   ax_balance.set_xlim(0.2, 6.8)
   ax_balance.set_ylim(-1.1, 1.1)
   ax_balance.set_aspect('equal', adjustable='box')
   ax_balance.axis('off')
   display(fig_balance, target='graph-1', append=False)

ids = '#balance-pivot, ' + ', '.join([f'#mass-weight-{i}' for i in range(1, 7)])

#@when("input", "#balance-pivot, #mass-weight-1, #mass-weight-2, #mass-weight-3, #mass-weight-4, #mass-weight-5, #mass-weight-6")
@when('input', ids)
def update_balance(event):
   render_balance()


render_balance()

Posizione del cuneo: 3.50

\(\mathbb E(X) = \, \) 3.50

Figura 41 Sei cerchi che rappresentano masse appoggiate su un asse, in corrispondenza delle realizzazioni della variabile aleatoria \(X\) che indica il risultato nel lancio di un dado. Il pannello superiore permette di modificare le masse dei cerchi, mentre quello inferiore sposta il cuneo sul quale è appoggiato l'asse. Il cuneo cambia colore quando il sistema si trova in equilibrio, evidenziando come ciò capiti quando il pungo di appoggio dell'asse coincide con \(\mathbb E(X)\).

È importante sottolineare che \(\{ x_1, \dots, x_n \}\) indica il supporto di \(X\) e non il campione che stiamo considerando. Quest'ultimo conterrà, in linea di principio, più occorrenze di ognuna delle realizzazioni.

Una delle denominazioni alternative per il valore atteso è media, richiamando l'attenzione su un parallelismo con il concetto di media campionaria. In effetti, si tratta in entrambi i casi di indici di posizione che calcolano un baricentro: delle osservazioni di un campione, in un caso, e dei punti di massa di una variabile aleatoria, nell'altro. È possibile spingere oltre questo parallelismo, introducendo un'interpretazione frequentista del valore atteso. Immaginiamo di fissare una variabile aleatoria discreta \(X\) tale che \(S_X = \{ x_1, \dots, x_n \}\), e di osservarla per \(m\) volte in condizioni di indipendenza, ottenendo un campione. Per \(i = 1, \dots, n\), indichiamo con \(m_i\) il numero di volte che è stato osservato il valore \(x_i\). La media campionaria corrispondente sarà ugugale a

\[\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_n x_n}{m} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{m_i}{m}\, x_i \enspace.\]

In realtà, questo risultato prescinde dalla particolare interpretazione del concetto di probabilità che si preferisca adottare. Vedremo nel legge-grandi-numeri che è possibile dimostrare che, sotto opportune ipotesi, la frequenza relativa di un evento tende alla sua probabilità.

Quando \(m\) diventa grande, nell'interpretazione frequentista la frequenza relativa \(\tfrac{m_i}{m}\) con cui osserviamo il valore \(x_i\) fornisce una buona approssimazione della probabilità \(p_X(x_i)\). Di conseguenza, la media campionaria osservata tende a

\[\sum_{i = 1}^{n} p_X(x_i)\, x_i = \mathbb E(X) \enspace.\]

In altre parole, il valore atteso può essere visto come il limite a cui tende la media aritmetica dei valori assunti dalla variabile aleatoria \(X\) al crescere del numero di osservazioni. In tal senso, se \(\mathbb E(X) = \mu\), spesso si dice che la variabile aleatoria \(X\) vale in media \(\mu\).

Esempio 79 (L'armatura di Mach-X, di nuovo)

Riprendiamo la variabile \(X\) dell'Esempio 67, che conta il numero di sottosistemi funzionanti nell'armatura di Mach-X, con funzione di massa \(p_X(0) = 0.09\), \(p_X(1) = 0.42\) e \(p_X(2) = 0.49\). Il suo valore atteso è

\[\mathbb E(X) = 0 \cdot 0.09 + 1 \cdot 0.42 + 2 \cdot 0.49 = 1.4 \enspace.\]

In media, dunque, \(1.4\) sottosistemi su due risultano operativi. Anche qui il valore atteso non è un esito possibile (i sottosistemi funzionanti sono \(0\), \(1\) oppure \(2\)), eppure riassume bene la situazione: l'armatura tende a funzionare quasi sempre, ma non perfettamente.

Questo è un primo esempio del legame che unisce la statistica descrittiva e il calcolo delle probabilità: la media campionaria e il valore atteso misurano entrambe la centralità, rispettivamente di un insieme di dati e di una distribuzione.

Il grafico interattivo nella Figura 42 illustra come la media campionaria tenda al valore atteso al crescere del numero di osservazioni. Ognuna delle \(t\) traiettorie mostrate è ottenuta osservando per \(2\,000\) volte una variabile aleatoria \(X\) che descrive il risultato del lancio di un dado bilanciato, aggiornando ogni volta il valore della media campionaria. Ogni singola traiettoria oscilla inizialmente, ma si assesta presto attorno a \(\mathbb E(X) = \tfrac{7}{2}\), indicato dalla linea tratteggiata arancione. Modificando la barra di scorrimento è possibile cambiare il numero \(t\) di traiettorie, e cliccando sul pulsante «Rigenera» è possibile ricalcolare tutte le traiettorie, simulando automaticamente l'osservazione di \(t\) nuove realizzazioni di \(X\).

▶ Mostra codice

# import asyncio
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# from js import document
from pyscript import display
from pyscript.web import page, when


def trajectory(n, rng):
  result = rng.integers(1, 7, size=n)
  average = np.cumsum(result) / np.arange(1, n + 1)
  return average

rng = np.random.default_rng(42)
n = 2000

def render_trajectories():
    fig_traj, ax_traj = plt.subplots()
    num_traj = int(page['#num-traj'][0].value)
    page['#num-traj-value'][0].innerHTML = f'{num_traj}'

    for _ in range(num_traj):
        traj = trajectory(n, rng)

        ax_traj.plot(np.arange(1, n + 1), traj, color='C0', alpha=0.2)

    ax_traj.axhline(3.5, color='C1', linestyle='--')
    ax_traj.set_xscale('log')
    ax_traj.set_ylim(1, 6.5)
    display(fig_traj, target='graph-2', append=False)

@when("input", "#num-traj")
def ex_plot(event):
   render_trajectories()

@when("click", "#regen-traj")
def regenerate_plot(event):
   render_trajectories()

render_trajectories()

\(t\): 50 Rigenera

Figura 42 Spezzate blu: grafici delle traiettorie descritte dalla media campionaria dei valori osservati di una variabile aleatoria \(X\) che descrive l'esito del lancio di un dado bilanciato, al variare del numero \(t\) di osservazioni da \(1\) a \(2\,000\). Linea tratteggiata arancione: valore atteso \(\mathbb E(X)\).

L'Esempio 74 può essere riformulato in modo generale, legando insieme un evento, la corrispondente variabile indicatrice e il valore atteso di quest'ultima.

Teorema 24 (Valore atteso di una variabile indicatrice)

Sia \(A\) un evento e \(𝟙_A\) la sua variabile indicatrice. Allora \(\mathbb E(𝟙_A) = \mathbb P(A)\).

Dimostrazione.

Come indicato nella Definizione 30, la variabile \(𝟙_A\) assume il valore \(1\) quando \(A\) si verifica e il valore \(0\) altrimenti, quindi \(\mathbb P(𝟙_A = 1) = \mathbb P(A)\) e \(\mathbb P(𝟙_A = 0) = 1 - \mathbb P(A) = \mathbb P(\bar A)\). Pertanto

\[\mathbb E(𝟙_A) = 0 \cdot \mathbb P(\bar A) + 1 \cdot \mathbb P(A) = \mathbb P(A) \enspace.\]

Questo risultato, semplice ma prezioso, dice che calcolare una probabilità è un caso particolare di calcolare un valore atteso. È un ponte tra i due concetti che useremo spesso.

Esempio 80

Riprendendo l'Esempio 68, sia \(A\) l'evento «l'armatura di Mach-X è operativa», ovvero \(\{X \geq 1\}\), e sia \(𝟙_A\) la corrispondente variabile indicatrice. Sappiamo che \(\mathbb P(A) = p_X(1) + p_X(2) = 0.91\), dunque per il Teorema 24

\[\mathbb E(𝟙_A) = \mathbb P(A) = 0.91 \enspace.\]

Il valore atteso della variabile indicatrice è quindi semplicemente la probabilità che l'armatura funzioni.

19.3.2. Funzioni di variabili aleatorie

Quando considereremo le variabili aleatorie continue, il discorso si complicherà: in questo caso, sarà necessario estendere alle funzioni il concetto di misurabilità.

Capita spesso di essere interessati non tanto a una variabile aleatoria \(X\) in quanto tale, quanto a una sua trasformazione \(Y = g(X)\): il danno inflitto da un superpotere in funzione della sua intensità, il tempo necessario per ricaricare un'abilità speciale in funzione della forza corrente, ma anche il carico di un server in funzione del numero di richieste ricevute. Se \(X\) è discreta, in particolare, si può prendere in considerazione qualsiasi funzione \(g \colon \mathbb R \to \mathbb R\): per ogni \(y \in \mathbb R\), l'evento \(\{ g(X) \leq y \}\) è sempre contenuto nella stessa sigma-algebra in cui è definita \(X\), e quindi \(Y\) risulta automaticamente essere una variabile aleatoria[4]. Il modo più immediato di calcolarne il valore atteso consiste nel ricavare prima la funzione di massa di \(Y\), per poi applicare la Definizione 31.

Esempio 81 (L'energia dello scarabeo)

Quando si attiva, lo scarabeo di Blue Beetle si carica su uno di quattro livelli, prediligendo quelli intermedi. Possiamo modellare questa situazione desrivendo il livello dello scarabeo tramite una variabile aleatoria \(X\) il cui supporto è \(S_X = \{1, 2, 3, 4\}\), e la funzione di massa di probabilità è indicata nelle prime due colonne della tabella che segue.

\(x\)	\(p_X(x)\)	\(y = x^2\)	\(p_Y(y)\)
\(1\)	\(\tfrac{1}{8}\)	\(1\)	\(\tfrac{1}{8}\)
\(2\)	\(\tfrac{1}{4}\)	\(4\)	\(\tfrac{1}{4}\)
\(3\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(9\)	\(\tfrac{1}{2}\)
\(4\)	\(\tfrac{1}{8}\)	\(16\)	\(\tfrac{1}{8}\)

Ipotizziamo che l'energia del raggio emesso dallo scarabeo cresca con il quadrato del livello, cioè sia descritta da una nuova variabile aleatoria \(Y = g(X) = X^2\). La terza colonna della tabella indica quali sono le realizzazioni di \(Y\) che corrispondono a quelle di \(X\). Poiché \(g\) è una funzione iniettiva, ogni livello \(x\) produce un unico valore \(y = x^2\) per l'energia, e gli eventi \(\{ Y = y \}\) e \(\{ X = x \}\) coincidono, dunque \(p_Y(y) = p_Y(g(x)) = p_X(x)\). In altre parole, nel passaggio da \(X\) a \(Y\) il supporto diventa \(S_Y = \{1, 4, 9, 16\}\), mentre i valori di probabilità rimangono invariati, come evidenziato nell'ultima colonna della tabella, che insieme alla penultima descrive completamente la distribuzione di \(Y\). Ciò permette di calcolare il valore atteso di \(Y\) applicando direttamente la sua definizione:

\[\mathbb E(X^2) = \mathbb E(g(X)) = \mathbb E(Y) = 1 \cdot \tfrac{1}{8} + 4 \cdot \tfrac{1}{4} + 9 \cdot \tfrac{1}{2} + 16 \cdot \tfrac{1}{8} = \frac{61}{8} = 7.625 \enspace.\]

In realtà non è necessario ricavare separatamente la distribuzione di \(g(X)\), perché \(\mathbb E(g(X))\) può essere calcolato usando direttamente la funzione di massa di probabilità di \(X\), come dimostrato nel prossimo teorema.

In alcune fonti, (19.7) viene introdotta come una definizione del valore atteso di una funzione di variabile aleatoria. In realtà, ciò non è necessario: basta applicare la definizione di valore atteso a \(g(X)\), sotto le opportune ipotesi dell'esistenza di quest'ultimo. Nella letteratura anglofona, con una punta di ironia, questo risultato è noto come law of the unconscious statistician (spesso abbreviato nell'acronimo LOTUS). In italiano, una traduzione possibile è legge dello statistico inconsapevole, poiché questa formula consente di calcolare \(\mathbb E(g(X))\) utilizzando direttamente la distribuzione di \(X\), senza determinare esplicitamente quella di \(g(X)\).

Teorema 25 (Valore atteso di una funzione di variabile aleatoria)

Siano \(X\) una variabile aleatoria discreta con funzione di massa di probabilità \(p_X\) e \(g \colon \mathbb R \to \mathbb R\) una funzione. Allora la variabile aleatoria \(Y = g(X)\) ha valore atteso

(19.7)\[\mathbb E(g(X)) = \sum_{x \in S_X} g(x)\, p_X(x) \enspace,\]

purché la serie converga assolutamente.

Dimostrazione.

Il supporto di \(Y = g(X)\) è \(S_Y = \{ g(x) \quad \forall x \in S_X \}\). Fissato un valore \(y \in S_Y\), l'evento \(\{ Y = y \}\) si verifica se e solo se \(X\) assume uno dei valori \(x \in S_X\) tali che \(g(x) = y\), cioè

\[\{ Y = y \} = \bigcup_{x \, : \, g(x)=y} \{ X = x \} \enspace.\]

Gli eventi all'interno di questa unione sono mutuamente esclusivi: per il Teorema 21, dunque,

\[p_Y(y) = \mathbb P(Y = y) = \sum_{x \, : \, g(x)=y} \mathbb P(X = x) = \sum_{x \, : \, g(x)=y} p_X(x) \enspace.\]

Sostituendo nella definizione di valore atteso e riorganizzando la doppia somma, si ottiene

\[\mathbb E(Y) = \sum_{y \in S_Y} y p_Y(y) = \sum_{y \in S_Y} y \, \sum_{x : g(x) = y} p_X(x) = \sum_{y \in S_Y} \sum_{x : g(x) = y} g(x)\, p_X(x) \enspace,\]

Per concludere, basta osservare che ogni \(x \in S_X\) occorre una e una sola volta all'interno della doppia sommatoria, che quindi equivale a sommare per tutti gli elementi del supporto di \(X\):

\[\mathbb E(Y) = \sum_{y \in S_Y} \sum_{x : g(x) = y} g(x)\, p_X(x) \sum_{x \in S_X} g(x)\, p_X(x) \enspace.\]

Pertanto, se quest'ultima serie converge assolutamente, il valore atteso di \(Y\) è ben definito secondo quanto richiesto dalla Definizione 31, e la tesi è dimostrata.

Esempio 82 (L'energia dello scarabeo, di nuovo)

Riprendiamo lo scarabeo di Blue Beetle dell'Esempio 81, con \(X \in \{1, 2, 3, 4\}\) e \(Y = X^2\). Riprendendo l'ultima formula di questo esercizio, basta notare che

\[\mathbb E(X^2) = 1 \cdot \tfrac{1}{8} + 4 \cdot \tfrac{1}{4} + 9 \cdot \tfrac{1}{2} + 16 \cdot \tfrac{1}{8} = 1^2 \cdot \tfrac{1}{8} + 2^2 \cdot \tfrac{1}{4} + 3^2 \cdot \tfrac{1}{2} + 4^2 \cdot \tfrac{1}{8} = \sum_{x=1}^4 x^2 p_X(x) \enspace,\]

che mostra come il Teorema 25 ci permette di calcolare \(\mathbb E(X^2)\) senza dover ricavare pria la distribuzione di \(Y\).

Nell'esempio precedente la funzione \(g\) era iniettiva, e ogni valore di \(Y\) proveniva da un solo valore di \(X\). Il Teorema 25 vale però per ogni funzione \(g \colon \mathbb R \to \mathbb R\), ed è particolarmente comodo quando questa funzione non è iniettiva. Infatti, in casi come questo, ricavare la funzione di massa di probabilità di \(Y\) richiederebbe di accorpare più valori di \(X\), mentre (19.7) fornisce lo stesso risultato, considerando direttamente la distribuzione della variabile aleatoria di partenza.

Esempio 83 (L'entità di uno scarto)

Riprendiamo ancora la variabile \(X\) dell'Esempio 66, che esprime la differenza tra i punteggi di due dadi bilanciati, con \(S_X = [-5 .. 5]\) e \(p_X(x) = \tfrac{6 - |x|}{36} 𝟙_{S_X}\). Nell'Esempio 75 abbiamo visto che \(\mathbb E(X) = 0\), a causa della simmetria di \(p_X\): ciò significa che in media le differenze positive e quelle negative si compensano. Se però si è interessati a quanto i due dadi differiscono, a prescindere dal segno, bisogna considerare la variabile aleatoria \(\lvert X \rvert\). La funzione \(x \mapsto \lvert x \rvert\) non è iniettiva: per definizione le immagini di \(x\) e \(-x\) coincidono; ricavare esplicitamente la massa di probabilità di \(\lvert X \rvert\) richiederebbe di sommare i contributi di valori opposti, ma il Teorema 25 ci permette di evitare del tutto questo passaggio:

\[\mathbb E(\lvert X \rvert) = \sum_{x = -5}^{5} \lvert x \rvert\, p_X(x) = 2 \sum_{x = 1}^{5} x \cdot \frac{6 - x}{36} = \frac{2}{36} (5 + 8 + 9 + 8 + 5) = \frac{35}{18} \enspace,\]

tenuto conto del fatto che che \(x\) e \(-x\) forniscono uno stesso contributo (da cui proviene la moltiplicazione per \(2\) della somma) e che quando \(x = 0\) il termine nella sommatoria è nullo. In media, dunque, i due dadi differiscono di \(\tfrac{35}{18} \approx 1.94\) punti.

19.3.3. Valore atteso e trasformazioni affini

Tra le varie funzioni che potremmo applicare a una variabile aleatoria, vale la pena focalizzare l'attenzione su quelle affini, della forma \(x \mapsto a x + b\), dove \(a, b \in \mathbb R\) sono due costanti. Applicando il Teorema 25 a questo tipo di funzioni si ottengono alcune proprietà che — come vedremo — sono ampiamente usate in tutta la teoria della probabilità.

Vedremo più avanti che questo teorema pone la base per dimostrare che il valore atteso è un operatore lineare che agisce su variabili aleatorie.

Teorema 26

Siano \(X\) una variabile aleatoria discreta con valore atteso finito e \(a, b \in \mathbb R\). Allora

(19.8)\[\mathbb E(a X + b) = a\, \mathbb E(X) + b \enspace.\]

Dimostrazione.

Applicando il Teorema 25 alla funzione definita da \(g(x) = a x + b\) e distribuendo le somme, si ottiene:

\[\mathbb E(a X + b) = \sum_{x \in S_X} (a x + b)\, p_X(x) = \sum_{x \in S_X} a x\, p_X(x) + \sum_{x \in S_X} b\, p_X(x) \enspace.\]

Anche in questo caso, emerge l'analogia con la media campionaria, per la quale valeva un'analoga proprietà.

Portando le costanti al di fuori delle sommatorie, si ottiene

\[\mathbb E(a X + b) = a \sum_{x \in S_X} x\, p_X(x) + b \sum_{x \in S_X} p_X(x) = a\, \mathbb E(X) + b \enspace,\]

in virtù della Definizione 31 e del Teorema 20, rispettivamente per quanto riguarda la prima e la seconda sommatoria.

Esempio 84 (Il compenso di Songbird)

Songbird viene ingaggiata per una missione e modella un numero aleatorio \(X\) di costrutti sonori, con valore atteso \(\mathbb E(X) = 3\). Il contratto prevede un compenso fisso di \(200\) crediti, più \(50\) crediti per ciascun costrutto generato; il compenso totale è quindi descritto dalla variabile \(Y = 50 X + 200\). Per il Teorema 26,

\[\mathbb E(Y) = 50\, \mathbb E(X) + 200 = 50 \cdot 3 + 200 = 350 \enspace.\]

In media, Songbird incassa \(350\) crediti a missione, e abbiamo ottenuto il risultato senza dover ricavare la funzione di massa di \(Y\).

Dal teorema precedente si ricavano immediatamente alcune regole che utilizzeremo spesso per semplificare il calcolo dei valori attesi.

Corollario 3

Per ogni \(b \in \mathbb R\) si ha \(\mathbb E(b) = b\).

Dimostrazione.

La tesi si ottiene ponendo \(a = 0\) nel Teorema 26.

L'enunciato del corollario precedente può sembrare strano, in quanto il valore atteso è un operatore che lavora con variabili aleatorie, non con valori costanti. In realtà, ha perfettamente senso considerare una variabile aleatoria degenere che restituisce sempre lo stesso valore ogni volta che viene osservata.

Definizione 32

Una variabile aleatoria discreta \(X\) si dice degenere quando \(\lvert S_X \rvert = 1\).

Una variabile aleatoria \(X\) di questo tipo deve avere come supporto un insieme singoletto, sul cui elemento viene concentrata tutta la massa di probabilità. Alla luce di questa definizione, il Corollario 3 dice che \(b \in \mathbb R\), inteso come variabile aleatoria degenere con dominio \(S_b = \{ b \}\) e funzione di massa di probabilità definita da \(p_b(x) = 𝟙_{\{b\}}(x)\), è chiaramente centrata sull'unico valore che può assumere.

Corollario 4

Per ogni \(a \in \mathbb R\) si ha \(\mathbb E(aX) = a \mathbb E(X)\).

Dimostrazione.

La tesi si ottiene ponendo \(b = 0\) nel Teorema 26.

Grazie a questo risultato, è possibile «estrarre» i coefficienti moltiplicativi dall'operatore di valore atteso, in analogia a quanto si fa, per esempio, con sommatorie e integrali. Ricordando la semantica del valore atteso, il corollario dice semplicemente che moltiplicare una variabile aleatoria per un fattore ha l'effetto di riscalare di quello stesso fattore il centro della distribuzione. Un caso speciale è rappresentato dalla trasformazione dell'unità di misura nella quale sono espressi i valori della variabile aleatoria: il valore atteso continua a rappresentare la medesima grandezza, ma il suo valore numerico cambia in accordo con il fattore di conversione.

Esempio 85 (Cambiare unità di misura)

Supponiamo che \(X\) rappresenti la distanza, in chilometri, percorsa da Songbird durante una missione, e che \(\mathbb E(X) = 3.5\). La variabile aleatoria \(Y = 1000X\) esprime la stessa grandezza, ma misurata in metri. Per il Corollario 4, si può calcolare direttamente il valore atteso della distanza in metri:

\[\mathbb E(Y) = \mathbb E(1000X) = 1000\, \mathbb E(X) = 1000 \cdot 3.5 = 3500 \enspace.\]

Il significato fisico non cambia: stiamo ancora descrivendo la distanza media percorsa in una missione. Cambia soltanto l'unità di misura, e quindi cambia di conseguenza anche il valore numerico del valore atteso.

Corollario 5

Per ogni \(b \in \mathbb R\) si ha \(\mathbb E(X + b) = \mathbb E(X) + b\).

Dimostrazione.

La tesi si ottiene ponendo \(a = 1\) nel Teorema 26.

Esempio 86 (Dalla scala Celsius alla scala Kelvin)

Supponiamo che \(X\) rappresenti la temperatura, in gradi Celsius, del nucleo di un laboratorio e che \(\mathbb E(X) = 22\). Se vogliamo esprimere la stessa temperatura in kelvin, dobbiamo considerare la variabile \(Y = X + 273.15\). Per il Corollario 5, il valore atteso della temperatura nella nuova scala si ottiene traslando di \(273.15\) anche il valore atteso:

\[\mathbb E(Y) = \mathbb E(X + 273.15) = \mathbb E(X) + 273.15 = 295.15 \enspace.\]

La grandezza fisica descritta non cambia: cambia solo il punto di origine della scala, e quindi il valore atteso viene semplicemente traslato della stessa quantità fissa.

Quando una variabile aleatoria assume valori enormi, ma la sua variabilità intrinseca è governata da termini piccoli e ben modellati, conviene isolare la parte costante e concentrare il calcolo solo sulla componente aleatoria, come nell'esempio seguente.

Esempio 87 (Il cannone entropico di Egghead)

Immaginiamo che Egghead, lo scienziato pazzo nemesi di Ant-Man, abbia costruito un cannone a raggi entropici che minaccia New York. Il cannone ha un livello di carica base fissato a \(c = 10^8\) megajoule, un numero enorme, frutto di anni di calcoli deliranti. Il problema è che il condensatore centrale è difettoso: a ogni attivazione, il cannone rilascia una carica addizionale \(Y\), che dipende da quante valvole termoioniche decidono di funzionare correttamente quel giorno. Più precisamente, \(Y\) è una variabile aleatoria discreta, anch'essa misurata in megajoule, con supporto \(\{0,1,2,3,4,5\}\) ed equiprobabile su questi valori. L'energia totale rilasciata è quindi \(X = c + Y\).

Calcolare \(\mathbb E(X)\) in modo esplicito richiederebbe di sommare delle quantità dell'ordine delle centinaia di milioni di megajoule, il che è scomodo e inutilmente laborioso. Infatti, basta notare che

\[\mathbb E(X) = \mathbb E(c + Y) = c + \mathbb E(Y) = 10^8 + \frac{0+1+2+3+4+5}{6} = 10^8 + 2.5 \text{ megajoule}.\]

Un'altra applicazione dell'ultimo corollario, che incontreremo spesso, consiste nel centrare una variabile, cioè nel sottrarle il proprio valore atteso.

Esempio 88 (Centrare una variabile)

Riprendiamo ancora una volta l'armatura di Mach-X dell'Esempio 79, per cui \(\mathbb E(X) = 1.4\), e definiamo lo scarto dalla media \(Y = X - \mathbb E(X) = X - 1.4\). Questa nuova variabile misura quanto, di volta in volta, il numero di sottosistemi attivi si discosta dal proprio valore atteso. Applicando il Teorema 26, con \(a = 1\) e \(b = -1.4\), si ottiene

\[\mathbb E(Y) = \mathbb E(X - 1.4) = \mathbb E(X) - 1.4 = 1.4 - 1.4 = 0 \enspace.\]

Lo si può verificare anche a mano: \(Y\) assume i valori \(-1.4\), \(-0.4\) e \(0.6\) con probabilità \(0.09\), \(0.42\) e \(0.49\), e infatti \(-1.4 \cdot 0.09 - 0.4 \cdot 0.42 + 0.6 \cdot 0.49 = 0\).

È facile verificare che, in generale, ogni variabile aleatoria centrata ha valore atteso nullo: la somma degli scostamenti dalla media, pesati con le rispettive probabilità, è sempre nulla. Si tratta di una conseguenza del fatto che \(\mathbb E(X)\) è il baricentro della distribuzione di \(X\), ed è anche alla base della proprietà illustrata nella Figura 41, in cui l'equilibrio dell'asse è dovuto all'annullamento del momento statico delle masse rispetto al punto di appoggio. In entrambi i casi, infatti, gli scostamenti dalla posizione di equilibrio, opportunamente pesati, si compensano esattamente. Questa idea tornerà preziosa quando vorremo misurare la dispersione di una variabile attorno al suo valore atteso.

19.3.4. Altre misure di centralità

Il valore atteso non è l'unico modo di descrivere la centralità di una distribuzione. Le altre due misure di centralità più importanti sono la mediana e la moda, anche in questo caso in analogia con quanto abbiamo già visto nella parte sulla statistica descrittiva.

Ometterò il pedice, scrivendo semplicemente \(m\) per indicare la mediana, quando la variabile aleatoria di riferimento sarà chiara dal contesto. In letteratura esistono anche altre convenzioni, in particolare \(\operatorname{Med}(X)\), o altre notazioni basate sui quantili (vedi Paragrafo 19.4.2).

Definizione 33 (Mediana di una variabile aleatoria discreta)

La mediana di una variabile aleatoria discreta \(X\), indicata con \(m_X\), è il più piccolo valore reale tale che \(\mathbb P(X \leq m_X) \geq 0.5\).

In altre parole, la mediana di una variabile aleatoria discreta è il più piccolo valore reale alla cui sinistra si trova almeno metà della massa di probabilità. Vale la pena osservare che, con questa definizione[5], la mediana di una variabile aleatoria discreta esiste sempre, ma non deve per forza coincidere con un valore del supporto.

Esempio 89

Consideriamo la variabile aleatoria \(X\) che descrive il numero di Sling Ring che Dr. Strange riesce ad attivare contemporaneamente, e supponiamo che

\[\mathbb P(X=0)=0.2 \qquad \mathbb P(X=1)=0.6 \qquad \mathbb P(X=2)=0.2 \enspace.\]

La mediana di \(X\) è \(m_X = 1\), perché \(\mathbb P(X \leq 1)=0.8 \geq 0.5\) e \(\mathbb P(X \geq 1)=0.8 \geq 0.5\). Inoltre, se \(x < 1\), allora \(\mathbb P(X \leq x) \leq 0.2 < 0.5\), mentre se \(x > 1\), allora \(\mathbb P(X \geq x) \leq 0.2 < 0.5\). Dunque la mediana corrisponde a uno dei valori di \(X\).

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n\), e la serie geometrica di ragione \(\tfrac{1}{2}\) converge a \(1\).

Esempio 90

Consideriamo una variabile aleatoria discreta \(X\) tale che

\[\mathbb P\left(X = 1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2^{n+1}} \quad\forall n \in \mathbb N \enspace,\]

e \(\mathbb P(X = 2) = \frac{1}{2}\). Il supporto sarà dunque l'insieme

\[S_X = \left\{ 1-\frac{1}{n} \, n \in \mathbb N \right\} \cup \{ 2 \} \enspace,\]

che contiene un'infinità numerabile di valori strettamente minori di \(1\), oltre all'intero \(2\). Siccome

\[\mathbb P(X < 1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} \enspace,\]

per ogni \(x < 1\), \(\mathbb P(X \leq x) < \mathbb P(X < 1) = \frac{1}{2}\). Ciò implica che la mediana di \(X\) è \(m_X = 1\), e dunque \(m_X \notin S_X\).

Definizione 34 (Moda di una variabile aleatoria discreta)

Sia \(X\) una variabile aleatoria discreta con supporto \(S_X\) e funzione di massa di probabilità \(p_X\). Un valore \(x^\star \in S_X\) si dice moda di \(X\) se

\[p_X(x^\star) \geq p_X(x) \qquad \forall x \in S_X \enspace.\]

Una moda è quindi una specificazione che massimizza la funzione di massa di probabilità, e ciò implica che per una data distribuzione possano esistere più mode, come esemplificato di seguito.

Esempio 91

Indichiamo con \(X\) la variabile aleatoria che descrive il numero di duplicati corporei che Multiple Man riesce a generare e tenere simultaneamente in azione, con \(S_X = \{0, 1, 2\}\). Se

\[\mathbb P(X=0)=0.2 \qquad \mathbb P(X=1)=0.5 \qquad \mathbb P(X=2)=0.3 \enspace,\]

la moda è unica ed è uguale a \(1\), perché \(p_X(1)=0.5\) è strettamente maggiore di tutti gli altri valori di massa di probabilità. Se invece

\[\mathbb P(X=0)=0.4 \qquad \mathbb P(X=1)=0.2 \qquad \mathbb P(X=2)=0.4 \enspace,\]

la distribuzione ha le due mode \(0\) e \(2\), perché entrambi questi valori massimizzano \(p_X\).

La mediana e la moda non coincidono necessariamente con il valore atteso: mentre \(\mathbb E(X)\) tiene conto di tutte le specificazioni e delle loro distanze, la mediana dipende soprattutto da come la probabilità si accumula lungo la retta reale, e la moda individua semplicemente la specificazione più probabile. Per questo motivo, quando una distribuzione è molto asimmetrica o contiene valori estremi rari ma molto grandi, mediana, moda e valore atteso possono raccontare aspetti diversi dello stesso fenomeno.

Esempio 92 (Media, mediana e moda possono divergere)

Supponiamo che \(X\) descriva il numero di sigilli dimensionali che Magik riesce a mantenere stabili durante un rituale, e che la sua distribuzione sia data da

\[\mathbb P(X=1)=0.6 \qquad \mathbb P(X=2)=0.3 \qquad \mathbb P(X=10)=0.1 \enspace.\]

La moda è uguale a \(1\), perché è il valore più probabile, ed è anche la mediana di \(X\), perché \(\mathbb P(X \leq 1) = 0.6 \geq 0.5\) e \( \mathbb P(X \geq 1) = 1 \geq 0.5\). Il valore atteso, però, è

\[\mathbb E(X) = 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.3 + 10 \cdot 0.1 = 2.2 \enspace.\]

In questo caso, dunque, mediana e moda coincidono, ma il valore atteso è più grande perché su di esso influiscono i pesi dei rimanenti valori di \(X\).

Quando invece la distribuzione di una variabile aleatoria \(X\) tende a essere simmetrica rispetto a un valore centrale \(c\), i contributi a \(\mathbb E(X)\) dei valori posti alla sinistra e alla destra di \(c\) tendono a compensarsi, e questo fa sì che \(\mathbb E(X)\) e \(c\) siano vicini tra loro (e coincideranno in caso di perfetta simmetria). Per ragioni analoghe, \(c\) tende frequentemente a essere anche una mediana. Per la moda, però, la sola simmetria non basta: essa dipende dalla localizzazione dei massimi della funzione di massa, e quindi può anche non coincidere con gli altri due indici. Se alla simmetria si aggiunge anche l'unimodalità, cioè la presenza di un unico picco centrale, allora valore atteso, mediana e moda tendono molto più spesso ad allinearsi, e in molti casi coincidono.

Nel seguito il valore atteso resterà la misura di centralità più importante, perché si combina molto bene con le trasformazioni e con il calcolo algebrico. Mediana e moda, però, rimangono strumenti preziosi: la prima è spesso più robusta rispetto ai valori estremi, mentre la seconda individua il valore più tipico o più frequente della distribuzione.

19.3.5. Vero o falso?

Analizzate ciascuna delle seguenti affermazioni, che riguardano una variabile aleatoria discreta \(X\) con valore atteso finito, e dite se è vera o falsa, motivando il vostro ragionamento. Cliccate su di essa per visualizzare la risposta corretta.

Il valore atteso \(\mathbb E(X)\) è sempre uno dei valori che \(X\) può assumere.

Falsa. Il valore atteso è il baricentro della distribuzione e può cadere fuori dal supporto. Lo abbiamo visto con il dado bilanciato dell'Esempio 77, il cui valore atteso \(3.5\) non è un esito possibile.

Il valore atteso \(\mathbb E(X)\) è espresso nella stessa unità di misura dei valori di \(X\).

Vera. Nella somma \(\sum_x x\, p_X(x)\) i valori \(x\) portano l'unità di misura, mentre le probabilità \(p_X(x)\) sono numeri puri; il risultato eredita quindi l'unità di misura di \(X\).

Se \(X \geq 0\) con probabilità \(1\), allora \(\mathbb E(X) \geq 0\).

Vera. Tutti i punti di massa \(x \in S_X\) sono non negativi e le probabilità \(p_X(x)\) pure; una somma di prodotti di quantità non negative è non negativa, dunque \(\mathbb E(X) \geq 0\).

Per ogni variabile aleatoria \(X\) vale \(\mathbb E(X^2) = (\mathbb E(X))^2\).

Falsa. In generale le due quantità sono diverse: per lo scarabeo di Blue Beetle (vedi l'Esempio 82) si ha \(\mathbb E(X^2) = 7.625\) ma \((\mathbb E(X))^2 \approx 6.89\). L'uguaglianza vale solo in casi particolari, per esempio quando \(X\) è costante.

Per una costante \(c\) si ha \(\mathbb E(c) = c\).

Vera. È fondamentalmente l'enunciato del Teorema 26. Una variabile aleatoria degenere assume sempre lo stesso valore, quindi la sua media non può che essere quel valore.

Per ogni \(a, b \in \mathbb R\) vale \(\mathbb E(a X + b) = a\, \mathbb E(X) + b\).

Vera. È esattamente l'enunciato del Teorema 26.

Per la variabile indicatrice \(𝟙_A\) di un evento \(A\) vale \(\mathbb E(𝟙_A) = \mathbb P(A)\).

Vera. È il contenuto del Teorema 24: calcolare la probabilità di un evento equivale a calcolare il valore atteso della sua variabile indicatrice.

Ogni variabile aleatoria discreta ha valore atteso ben definito.

Falsa. Quando il supporto è infinito numerabile la serie in (19.6) può non convergere assolutamente; in tal caso il valore atteso non esiste. Per i supporti finiti, invece, è sempre ben definito.

Se una variabile aleatoria discreta ha valore atteso uguale alla propria mediana, allora la sua distribuzione è necessariamente simmetrica.

Falsa. L'uguaglianza tra media e mediana, da sola, non basta a garantire la simmetria. Per esempio, se \(X\) assume i valori \(0\), \(1\) e \(3\) con probabilità rispettivamente \(0.4\), \(0.4\) e \(0.2\), allora \(\mathbb E(X) = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.2 = 1\), e anche \(1\) è una mediana perché \(\mathbb P(X \leq 1)=0.8 \geq 0.5\) e \(\mathbb P(X \geq 1)=0.6 \geq 0.5\); tuttavia la distribuzione non è simmetrica rispetto a \(1\).

Per una variabile aleatoria discreta, mediana e moda sono sempre uniche.

Falsa. La Definizione 33 individua la mediana in modo univoco, ma ciò non è vero per la moda. In particolare, l'Esempio 91 mostra una distribuzione con due mode.

19.3.6. Esercizi

Esercizio 151 (•)

Per compiere una missione, Squirrel Girl chiama in aiuto un numero aleatorio \(N\) di scoiattoli, con \(N \in \{1, 2, 3, 4\}\) e funzione di massa

\[p_N(1) = 0.1, \quad p_N(2) = 0.2, \quad p_N(3) = 0.3, \quad p_N(4) = 0.4 \enspace.\]

1. Verificate che \(p_N\) è una funzione di massa di probabilità.

2. Calcolate il numero atteso di scoiattoli \(\mathbb E(N)\).

Solution to Esercizio 151 (•)

1. Le masse sono tutte non negative e \(0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1\), quindi per il Teorema 23 \(p_N\) è una funzione di massa di probabilità.

2. Applicando la Definizione 31,

   \[\mathbb E(N) = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.4 = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3 \enspace.\]

   In media Squirrel Girl raduna pertanto \(3\) scoiattoli.

Esercizio 152 (••)

Con riferimento alla variabile \(N\) dell'Esercizio 151:

1. Usando il Teorema 25, calcolate \(\mathbb E(N^2)\).

2. Confrontate \(\mathbb E(N^2)\) con \(\mathbb E(N)^2\) e commentate il risultato che osservate.

Solution to Esercizio 152 (••)

1. Per la legge dello statistico inconsapevole,

   \[\mathbb E(N^2) = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.2 + 3^2 \cdot 0.3 + 4^2 \cdot 0.4 = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10 \enspace.\]

2. Si ha \(\mathbb E(N)^2 = 3^2 = 9 \neq 10 = \mathbb E(N^2)\). Le due quantità sono diverse, e in particolare il valore atteso del quadrato supera il quadrato del valore atteso. Nel prossimo paragrafo vedremo che la differenza \(\mathbb E(N^2) - \mathbb E(N)^2 = 1\) misura quanto \(N\) tende a discostarsi dalla propria media.

Esercizio 153 (••)

Sempre con la variabile \(N\) dell'Esercizio 151, supponete che ogni scoiattolo consumi \(2\) nocciole e che Squirrel Girl ne tenga da parte altre \(5\) come riserva, indipendentemente dal numero di scoiattoli. Sia \(C = 2 N + 5\) il numero totale di nocciole necessarie per portare a termine la missione.

1. Calcolate \(\mathbb E(C)\) usando (19.8).

2. Verificate il risultato calcolando direttamente la funzione di massa di \(C\) e applicando la definizione.

Solution to Esercizio 153 (••)

1. Per il Teorema 26,

   \[\mathbb E(C) = \mathbb E(2 N + 5) = 2\, \mathbb E(N) + 5 = 2 \cdot 3 + 5 = 11 \enspace.\]

2. La funzione \(n \mapsto 2 n + 5\) è iniettiva, quindi \(C\) assume i valori \(7, 9, 11, 13\) con le stesse probabilità \(0.1, 0.2, 0.3, 0.4\) di \(N\). Allora

   \[\mathbb E(C) = 7 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 11 \cdot 0.3 + 13 \cdot 0.4 = 0.7 + 1.8 + 3.3 + 5.2 = 11 \enspace,\]

   in accordo con il punto precedente.

Esercizio 154 (•••)

Mr. Immortalsfrutta la propria immortalità per giocare innumerevoli volte a un gioco rischioso. A ogni partita paga una quota d'ingresso di \(c\) crediti e vince una somma descritta da una variabile aleatoria \(W\), con \(W \in \{0, 2, 10\}\) e funzione di massa di probabilità

\[p_W(0) = 0.5, \qquad p_W(2) = 0.4, \qquad p_W(10) = 0.1 \enspace.\]

Il guadagno netto di una partita è \(G = W - c\).

1. Calcolate \(\mathbb E(W)\).

2. Determinate la quota \(c\) che rende il gioco equo, cioè tale che \(\mathbb E(G) = 0\).

3. Se la quota richiesta fosse \(c = 1.5\), a Mr. Immortal converrebbe giocare a lungo termine?

Solution to Esercizio 154 (•••)

1. Applicando la definizione di valore atteso,

   \[\mathbb E(W) = 0 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 = 0.8 + 1 = 1.8 \enspace.\]

2. Per il Teorema 26, \(\mathbb E(G) = \mathbb E(W) - c\). Imponendo \(\mathbb E(G) = 0\) si ottiene \(c = \mathbb E(W) = 1.8\) crediti.

3. Con \(c = 1.5\) si ha \(\mathbb E(G) = 1.8 - 1.5 = 0.3 > 0\). Il guadagno netto atteso per partita è positivo, e applicando l'interpretazione frequentista possiamo asserire che su un numero elevato di partite la media dei guadagni tende a \(0.3\) crediti a partita: a Mr. Immortal, che di tempo ne ha in abbondanza, conviene giocare.

Esercizio 155 (•)

Riprendete la variabile \(X\) dell'Esempio 69, che indica il piano su cui Doorman fa materializzare i compagni, con \(p_X(1) = \tfrac{1}{2}\), \(p_X(2) = \tfrac{1}{3}\) e \(p_X(3) = \tfrac{1}{6}\). Calcolatene il valore atteso.

Solution to Esercizio 155 (•)

Applicando la Definizione 31,

\[\mathbb E(X) = 1 \cdot \tfrac{1}{2} + 2 \cdot \tfrac{1}{3} + 3 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{3} \approx 1.67 \enspace.\]

Come già visto in altri esempi, il valore atteso \(\tfrac{5}{3}\) non indica un piano esistente dell'edificio. Applicando l'interpretazione frequentista, si può dire che, in media, i compagni atterrano poco sopra il primo piano.

Esercizio 156 (••)

Sempre con la variabile \(X\) dell'Esempio 69, sia \(A\) l'evento «il teletrasporto finisce su un piano dispari», cioè \(A = \{X \in \{1, 3\}\}\), e sia \(𝟙_A\) la sua variabile indicatrice.

1. Calcolate \(\mathbb E(𝟙_A)\).

2. Spiegate a parole perché il risultato coincide con una probabilità già calcolata nel capitolo precedente.

Solution to Esercizio 156 (••)

1. Per il Teorema 24, \(\mathbb E(𝟙_A) = \mathbb P(A)\), e per il Teorema 21,

   \[\mathbb E(𝟙_A) = \mathbb P(X \in \{1, 3\}) = p_X(1) + p_X(3) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{3} \enspace.\]

2. Il risultato coincide con il valore ottenuto nell'Esempio 71, proprio perché calcolare il valore atteso della variabile indicatrice di un evento equivale a calcolare la probabilità che quest'ultimo si verifichi. La variabile indicatrice codifica semplicemente con un numero la risposta alla domanda «l'evento si è verificato?».

Esercizio 157 (••)

Scrivete una funzione expected_value che accetta come argomenti:

• una lista di valori,

• una lista di masse di probabilità che ha la stessa lunghezza dell'argomento precedente e i cui elementi sommano a \(1\),

e che restituisce il valore atteso della corrispondente variabile aleatoria. Verificate il funzionamento di questa funzione su:

• una variabile aleatoria degenere che è sempre uguale a \(1\),

• una variabile aleatoria che assume solamente le specificazioni \(0\) e \(1\) con uguale probabilità,

• una variabile aleatoria che assume solamente le specificazioni \(0\) e \(1\), rispettivamente con probabilità \(\tfrac{3}{5}\) e \(\tfrac{2}{5}\),

• la variabile aleatoria che indica il risultato del lancio di un dado bilanciato a sei facce.

Solution to Esercizio 157 (••)

La cella seguente contiene una possibile implementazione della funzione, che verifica i prerequisiti indicati e che applica successivamente la Definizione 31. Vengono poi eseguiti i test indicati.

import numpy as np

def expected_value(x, p):
    assert len(x) == len(p), "x and p must have the same length"
    assert abs(sum(p) - 1) < 1e-6, "Probabilities must sum to 1"
    return sum(x_i * p_i for x_i, p_i in zip(x, p))

assert expected_value([1], [1]) == 1
assert expected_value([0, 1], [0.5, 0.5]) == 0.5
assert expected_value([0, 1], [3/5, 2/5]) == 0.4
assert expected_value(np.arange(1, 7), [1/6] * 6) == 3.5

Esercizio 158 (••)

Boom-Boom semina nell'arena un numero aleatorio \(X\) di sfere esplosive, con \(X \in \{0, 1, 2, 3\}\) e funzione di massa

\[p_X(0) = 0.4, \quad p_X(1) = 0.3, \quad p_X(2) = 0.2, \quad p_X(3) = 0.1 \enspace.\]

Quando due sfere entrano in risonanza si amplificano a vicenda, e il numero di coppie risonanti è \(g(X) = X (X - 1) / 2\).

1. Osservate che \(g\) non è iniettiva su \(S_X\): individuate due valori di \(X\) che danno lo stesso numero di coppie.

2. Usando il Teorema 25, calcolate il numero atteso di coppie risonanti.

Solution to Esercizio 158 (••)

1. Si ha \(g(0) = g(1) = 0\), perché chiaramente partendo da zero o da una sfera non è possibile formare alcuna coppia, dunque \(g\) non è iniettiva.

2. Calcoliamo \(g\) su ciascun valore: \(g(0) = 0\), \(g(1) = 0\), \(g(2) = 1\), \(g(3) = 3\). Per la legge dello statistico inconsapevole,

   \[\mathbb E(X(X - 1)) = 0 \cdot 0.4 + 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.1 = 0.2 + 0.3 = \frac{1}{2} \enspace.\]

   In media si formerebbe quindi una coppia risonante ogni due volte che Boom-Boom posiziona le sfere.

Esercizio 159 (••••)

Sia \(X\) una variabile aleatoria discreta, e siano \(f\) e \(g\) due funzioni aventi \(\mathbb R\) come dominio e come codominio, caratterizzate dal fatto che per ogni \(x \in \mathbb R\) vale \(f(x) \leq g(x)\). Dimostrate che \(\mathbb E(f(X)) \leq \mathbb E(g(X))\).

Solution to Esercizio 159 (••••)

Indicati con \(D_X\) e \(p_X\) rispettivamente il dominio e la funzione di massa di probabilità di \(X\), si avrà

\[\mathbb E(f(X)) = \sum_{x \in D_X} f(x) p_X(x) \leq \sum_{x \in D_X} g(x) p_X(x) = \mathbb E(g(X)) \enspace.\]

Esercizio 160 (••)

Sia \(X\) una variabile aleatoria discreta con valore atteso finito \(\mu = \mathbb E(X)\), e definite la variabile centrata \(Y = X - \mu\). Dimostrate che \(\mathbb E(Y) = 0\), indipendentemente dalla distribuzione di \(X\).

Solution to Esercizio 160 (••)

Poiché \(\mu\) è una costante, possiamo applicare il Teorema 26 con \(a = 1\) e \(b = -\mu\):

\[\mathbb E(Y) = \mathbb E(X - \mu) = \mathbb E(X) - \mu = 0 \enspace.\]

Il risultato non dipende dalla particolare funzione di massa di \(X\): ogni variabile centrata ha valore atteso nullo, come già osservato nell'Esempio 88. Intuitivamente, sottraendo la media si sposta l'origine proprio nel baricentro della distribuzione.

Esercizio 161 (•••)

Flatman si ostina a infilarsi sotto la stessa porta finché non riesce a passare. La variabile aleatoria \(X\) che indica il numero di tentativi necessari per riuscire ad attraversare la porta ha quindi come supporto \(\mathbb N\).

1. Verificate che la funzione descritta da \(p_X(k) = \left( \tfrac{1}{2} \right)^k\) è una funzione di massa di probabilità per \(X\).

2. Calcolate il numero atteso di tentativi \(\mathbb E(X)\).

Solution to Esercizio 161 (•••)

1. I valori di \(p_X\) sono sempre positivi, e sommandoli per tutti gli argomenti \(k \in \mathbb N\) si ottiene una serie geometrica di ragione \(\tfrac{1}{2}\), contando a partire da \(k = 1\). Per (A.8),

   \[\sum_{k = 1}^{\infty} \left( \tfrac{1}{2} \right)^k = \frac{\tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}} = 1 \enspace,\]

   quindi \(p_X\) è una funzione di massa di probabilità.

2. Tutti gli addendi sono positivi, dunque il valore atteso di \(X\) è ben definito se la serie \(\sum_{k=1}^{+\infty} k \, p_X(k)\) converge. Poniamo

   (19.9)\[S = \mathbb E(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} k \, p_X(k) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k}.\]

   Dividendo entrambi i membri per \(2\) si ottiene

   (19.10)\[\frac{S}{2} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^{k+1}} = \sum_{h=2}^{+\infty} \frac{h-1}{2^h} \enspace,\]

   dove nell'ultimo passaggio è stato effettuato il cambiamento \(h = k+1\) per l'indice di sommatoria. Sottraendo membro a membro (19.10) da (19.9) si ottiene

   \[S - \frac{S}{2} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} -\sum_{h=2}^{+\infty}\frac{h-1}{2^h} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} -\sum_{h=2}^{+\infty}\frac{h}{2^h} + \sum_{h=2}^\infty\frac{1}{2^h} = \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{2^k} \enspace.\]

   L'ultima sommatoria corrisponde alla serie geometrica di ragione \(\tfrac{1}{2}\), contando a partire da \(2\), per cui

   \[\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{2^k} = \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \enspace.\]

   Pertanto \(\tfrac{S}{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1\), e quindi \(\mathbb E(X) = S = 2\). Ciò significa che, in media, Flatman riesce ad attraversare la porta al secondo tentativo.

Esercizio 162 (•••)

Moonstone, sempre calcolatrice, deve scegliere come farsi ricompensare per un colpo. Le vengono proposti tre schemi:

• schema \(A\): riceve \(6\) crediti con certezza;

• schema \(B\): lancia un dado bilanciato e riceve in crediti il punteggio ottenuto;

• schema \(C\): con probabilità \(0.3\) riceve \(15\) crediti, altrimenti nulla.

1. Calcolate il valore atteso della ricompensa per ciascuno schema.

2. Quale schema conviene a Moonstone se vuole massimizzare la ricompensa media?

3. Le viene infine proposto uno schema \(D\): con probabilità \(\tfrac{1}{2}\) riceve \(v\) crediti, altrimenti \(2\) crediti. Per quale valore di \(v\) lo schema \(D\) ha lo stesso valore atteso dello schema \(A\)?

Solution to Esercizio 162 (•••)

1. Indichiamo con \(W_A\), \(W_B\), \(W_C\) le variabili aleatorie che indicano le ricompense secondo i tre schemi.

   • Nello schema \(A\) il compenso è costante e \(\mathbb E(W_A) = 6\).

   • Nello schema \(B\), il compenso medio si calcola esattamente come nell'Esempio 77, dunque \(\mathbb E(W_B) = 3.5\).

   • Per lo schema \(C\), la ricompensa è \(W_C = 15 \cdot 𝟙_C\) dove \(C\) è un evento che si verifica con probabilità \(0.3\); per il Corollario 4 e il Teorema 24, \(\mathbb E(W_C) = 15 \, \mathbb E(𝟙_C) = 15 \cdot 0.3 = 4.5\).

2. Confrontando i tre valori attesi ottenuti al punto precedente si verifica immediatamente che lo schema \(A\) offre la ricompensa media più alta.

3. Indicando con \(W_D\) la variabile aleatoria che descrive il compenso per lo schema \(D\) e applicando la Definizione 31, si ha

   \[\mathbb E(W_D) = \tfrac{1}{2} v + \tfrac{1}{2} \cdot 2 = \tfrac{v}{2} + 1 \enspace.\]

   Imponendo \(\mathbb E(W_D) = \mathbb E(W_A) = 6\) si ottiene \(\tfrac{v}{2} + 1 = 6\), da cui \(v = 10\) crediti.

Esercizio 163 (•)

Jubilee genera un numero aleatorio \(X\) di fuochi pirotecnici in miniatura, con

\[\mathbb P(X=1)=0.2, \qquad \mathbb P(X=2)=0.5, \qquad \mathbb P(X=3)=0.3 \enspace.\]

1. Determinate le mode di \(X\).

2. Determinate la mediana di \(X\).

3. Stabilite se almeno una moda coincide con la mediana.

Solution to Esercizio 163 (•)

1. La variabile aleatoria ha una sola moda, in corrispondenza di \(2\), perché \(p_X(2)=0.5\) è la massa di probabilità più grande.

2. Per ogni \(x < 2\), si ha \(\mathbb P(X \leq x) \leq 0.2\), quindi \(1\) non può essere una mediana. Invece \(\mathbb P(X \leq 2) \geq 0.5\) e \(\mathbb P(X \geq 2) \geq 0.5\), quindi \(2\) è una mediana. Infine, per ogni \(x > 2\), \(\mathbb P(X \geq x) \leq 0.3\), quindi non ci possono essere altre mediane.

3. Per quanto ottenuto nei punti precedenti, la moda è unica e coincide con la mediana.

Esercizio 164 (••)

Cloak apre un numero aleatorio \(Y\) di varchi d'ombra, con

\[\mathbb P(Y=0)=0.5, \qquad \mathbb P(Y=4)=0.5 \enspace.\]

1. Mostrate che ogni \(x \geq 0\) è un candidato a essere la mediana di \(Y\).

2. Calcolate la mediana di \(Y\).

3. Determinate le mode di \(Y\).

Solution to Esercizio 164 (••)

1. Se \(x\) è non negativo, allora \(\mathbb P(Y \leq x) \geq 0.5\), perché almeno una delle due masse da \(0.5\) cade sempre a sinistra di \(x\), o coincide con esso.

2. La mediana di \(Y\) è il più piccolo tra i valori individuati al punto precedente, dunque \(m_Y = 0\).

3. Le mode sono \(0\) e \(4\), perché entrambe massimizzano la funzione di massa, avendo probabilità uguale a \(0.5\).

Esercizio 165 (•••)

Forge collauda un dispositivo che produce un numero aleatorio \(Z\) di impulsi energetici, con

\[\mathbb P(Z=1)=0.6, \qquad \mathbb P(Z=2)=0.3, \qquad \mathbb P(Z=10)=0.1 \enspace.\]

1. Calcolate la mediana di \(Z\).

2. Mostrate che la moda di \(Z\) è unica, e calcolatela.

3. Calcolate \(\mathbb E(Z)\).

4. Commentate la relazione tra questi tre indici di centralità.

Solution to Esercizio 165 (•••)

1. Un qualsiasi valore \(z < 1\) non può essere una mediana, perché \(\mathbb P(Z \leq z) = 0\). Invece \(\mathbb P(Z \leq 1) \geq 0.5\), da cui si ricava \(m_Z = 1\).

2. La funzione di massa di probabilità di \(Z\) ha un unico valore massimo, in corrispondenza di \(p_Z(1)=0.6\). Pertanto la moda è unica ed è uguale a \(1\).

3. Applicando la Definizione 31,

   \[\mathbb E(Z)=1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.3 + 10 \cdot 0.1 = 2.2 \enspace.\]

4. In questo caso mediana e moda coincidono, ma il valore atteso è più grande, perché risente del fatto che i valori \(2\) e \(10\) hanno probabilità non nulla.

19.3.7. Concetti fondamentali

Pensate ai concetti fondamentali illustrati in questo paragrafo ed elencateli. Nella lista qui sotto sono già presenti gli stessi concetti, ma nascosti. Cliccate sul pulsante per mostrarli sotto forma di parole chiave, quindi confrontateli con la vostra lista. Provate infine a descrivere ciascun concetto con parole vostre.

---

[1]

Chi dovesse avere la curiosità di vedere un esempio di variabile aleatoria che non ammette valore atteso, può considerare la funzione di massa di probabilità sul supporto \(\mathbb N\) definita da \(\mathbb P(X=n)=\frac{6}{\pi^2}\frac{1}{n^2}\), i cui valori sommano a uno — perché \(\sum_{i=1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2 / 6\). In questo caso si verifica immediatamente che \(\mathbb E(X)\) è uguale al valore della serie armonica, che notoriamente diverge.

[2]

Alcuni testi distinguono il caso in cui la serie che definisce il valore atteso converge a un numero reale da quelli in cui essa diverge a \(\pm\infty\), oppure non determina alcun valore, neppure infinito. Ciò permette di avere tre situazioni: (i) il valore atteso esiste ed è finito; (ii) è definito in senso esteso, e vale più o meno infinito; (iii) non è definito. Per non complicare la trattazione, ho deciso di considerare semplicemente variabili aleatorie che ammettono valore atteso, intendendo con ciò che esso esiste ed è finito, e variabili che non lo ammettono, unificando le ultime due precedenti situazioni in un'unica categoria.

[3]

Storicamente, il concetto di valore atteso viene fatto risalire al XVII secolo, nell'ambito della teoria dei giochi d'azzardo. Esso veniva infatti definito come il valore equo di una scommessa: il prezzo che sarebbe stato ragionevole pagare per partecipare a un gioco aleatorio. Sviluppi successivi della disciplina hanno riconosciuto la coincidenza formale tra il valore atteso e il baricentro di una distribuzione di masse, da cui derivano termini come massa di probabilità. La successiva assiomatizzazione della probabilità proposta da Andrej Nikolaevič Kolmogorov nel 1933, fondata sulla teoria della misura, rese questa corrispondenza parte integrante della struttura matematica della disciplina: una distribuzione di probabilità è una misura di massa totale unitaria e il valore atteso coincide con il suo centro di massa.

[4]

Precisamente, per ogni \(y \in \mathbb R\) si ha

\[Y^{-1}(y) = \{ \omega \in \Omega \colon Y(\omega) \leq y \} = \{ \omega \in \Omega \colon g(X(\omega)) \leq y \} = \bigcup_{x \in S_X \colon g(x) \leq y} \{ X = x \} \enspace.\]

Notando che l'ultimo insieme ottenuto è l'unione al più numerabile di eventi, si ottiene che \(Y^{-1}(y)\) è sempre contenuto nella sigma-algebra alla base di \(X\), e ciò dimostra che \(Y = g(X)\) soddisfa quanto richiesto nella Definizione 25, ed è dunque una variabile aleatoria.

[5]

In letteratura si incontrano diverse convenzioni per definire la mediana. In particolare, un'alternativa consiste nel definirla come un qualunque valore \(m\) per il quale \(\mathbb P(X\leq m)\geq 0.5\) e \(\mathbb P(X\geq m)\geq 0.5\), e dunque come il valore che lascia almeno metà della massa di probabilità sia alla sua sinistra che alla sua destra. Questa convenzione è per certi versi più naturale, ma non garantisce l'unicità della mediana. Le due definizioni coincidono in molti casi, in particolare per distribuzioni continue con funzione di ripartizione strettamente crescente, ma possono produrre risultati diversi in presenza di distribuzioni discrete o di intervalli sui quali la funzione di ripartizione è costante.