17.4. Operazioni tra insiemi#

Oltre a utilizzare le relazioni descritte nel paragrafo precedente, è possibile costruire nuovi insiemi a partire da insiemi esistenti utilizzando le operazioni descritte di seguito.

Definizione 8 (Operazioni tra insiemi)

Dati due insiemi \(S\) e \(T\) contenuti nell'universo \(\Omega\), si definiscono le seguenti operazioni.

L’unione di due insiemi \(S\) e \(T\) è l'insieme \(S \cup T\) di tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno di essi. Formalmente, \(S \cup T = \{x \in \Omega \mid x \in S \vee x \in T \}\).
L’intersezione di due insiemi \(S\) e \(T\) è l'insieme \(S \cap T\) degli elementi comuni a entrambi, ovvero \(S \cap T = \{ x \in \Omega \mid x \in S \wedge x \in T \}\).
La differenza tra un insieme \(S\) e un insieme \(T\) è l'insieme \(S \setminus T\) degli elementi di \(S\) che non appartengono a \(T\): \(S \setminus T = \{ x \in \Omega \mid x \in S \wedge x \notin T \}\).
La differenza simmetrica tra due insiemi \(S\) e \(T\) è l'insieme \(S \ominus T\) degli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi; pertanto, \(S \ominus T = \{ x \in \Omega \mid ( x \in S \wedge x \notin T ) \vee ( x \notin S \wedge x \in T) \}\).
Il complemento di un insieme \(S\) è l'insieme \(\overline S\) degli elementi dell'universo che non appartengono a \(S\), così che \(\overline S = \{ x \in \Omega \mid x \notin S \} = \Omega \setminus S\).

Definizione 9 (Insiemi disgiunti)

Due insiemi \(S\) e \(T\) si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se

\[S \cap T = \varnothing \enspace.\]

Più in generale, gli insiemi in una famiglia \(\{S_i\}_{i \in I}\) si dicono a due a due disgiunti se \(S_i \cap S_j = \varnothing\) per ogni coppia di indici distinti \(i \neq j\).

../../_images/670d13a48ca97bc1f6786188fe751b6b4b6b9ce10be82583ad68f7b961346de2.png — Figura 17 Diagrammi di Venn per l'unione \(O \cup V\) (a sinistra) e l'intersezione \(O \cap V\) (a destra), dove \(O\) è l'insieme degli Avengers con forza sovrumana e \(V\) quello degli Avengers in grado di volare. In entrambi i casi, il colore azzurro scuro descrive l'insieme di interesse e quello chiaro indica le parti di \(O\) o \(V\) che non ne fanno parte.#

Esempio 20

Consideriamo l'universo \(\Omega\) di tutti gli Avengers, e definiamo al suo interno gli insiemi \(O = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}\}\) e \(V = \{\text{Thor}, \text{Iron Man}\}\), che contengono rispettivamente gli Avengers con forza sovrumana e quelli in grado di volare. La Figura 17 mostra i diagrammi di Venn di

\(O \cup V = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}, \text{Iron Man}\}\), che include tutti gli eroi considerati, e
\(O \cap V = \{\text{Thor}\}\), contente il solo Avenger con forza sovrumana che può anche volare.

Analogamente, la Figura 18 illustra la differenza \(O \setminus V = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}\}\) di tutti gli eroi con super-forza che non sanno volare e la differenza simmetrica \(O \ominus V = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Iron Man}\}\), da cui Thor è escluso perché appartiene a entrambi gli insiemi. È importante sottolineare come la differenza tra insiemi non sia simmetrica: un semplice controesempio è dato dal fatto che \(V \setminus O = \{\text{Iron Man}\} \neq O \setminus V\).

Infine, il complemento \(\overline O\) corrisponde all'insieme degli Avengers privi di forza sovrumana: Iron Man, Black Widow, Hawkeye ed Ant-Man, come illustrato nella Figura 19.

../../_images/5dbf88aa2547a22fa716e6814ecef95f4e390e8313700a9cbc2e3087e1ed681d.png — Figura 18 Diagrammi di Venn per la differenza \(O \setminus V\) (a sinistra) e la differenza simmetrica \(O \ominus V\) (a destra). Stesse notazioni della Figura 17.#

../../_images/4b3bf8719bd202eabae9809440db3c7b583511a2f133f309880af77af7a915ae.png — Figura 19 Diagramma di Venn per il complemento \(\overline O\): la regione evidenziata contiene tutti gli Avengers che non appartengono a \(O\). Stesse notazioni della Figura 17.#

Si verifica facilmente come le operazioni di unione e intersezione siano

commutative: vale sempre \(S \cup T = T \cup S\) e \(S \cap T = T \cap S\), e quindi è possibile scambiare i due insiemi mantenendo invariate la loro unione e la loro intersezione;
associative: \(S \cup ( T \cup U ) = (S \cup T ) \cup U\) e \(S \cap ( T \cap U ) = (S \cap T ) \cap U\), il che significa che l'ordine con cui vengono eseguite due unioni (o due intersezioni) è ininfluente, pertanto è possibile scrivere per esempio \(S \cup T \cup U\) senza che l'espressione risultante sia ambigua;
distributive l'una rispetto all'altra, nel senso che vale \(S \cup (T \cap U) = (S \cup T) \cap (S \cup U)\) e \(S \cap (T \cup U) = (S \cap T) \cup (S \cap U)\), in analogia con la distribuzione della moltiplicazione rispetto all'addizione nell'aritmetica (dove vale \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)), con la differenza che qui la proprietà vale in entrambe le direzioni.

Teorema 1 (Leggi di De Morgan)

Per ogni coppia di insiemi \(S, T \subseteq \Omega\), valgono le leggi di De Morgan:

\(\overline{\left( S \cup T \right)} = \overline S \cap \overline T\);
\(\overline{\left( S \cap T \right)} = \overline S \cup \overline T\).

Dimostrazione.

Dimostriamo la prima delle due leggi. Se fissiamo \(x \in \overline{\left( S \cup T \right)}\), per definizione di complemento si ha che \(x \notin \left( S \cup T \right)\), il che implica \(x \notin S\) e \(x \notin T\). Da questo fatto si ottiene, sempre sfruttando la definizione di complemento, che \(x \in \overline S\) e \(x \in \overline T\), e dunque \(x \in \overline S \cap \overline T\). Siccome non abbiamo fatto particolari ipotesi su \(x\) se non quella di appartenere a \(\overline{(S \cup T)}\), abbiamo dunque dimostrato che \(\overline{\left( S \cup T \right)} \subseteq \overline S \cap \overline T\). Procedendo in modo inverso (cioè partendo da \(x \in \overline S \cap \overline T\)) si può dimostrare che \(\overline S \cap \overline T \subseteq \overline{\left( S \cup T \right)}\), ottenendo pertanto la prima legge di De Morgan. La seconda legge si dimostra in modo analogo.

Le leggi di De Morgan ci dicono essenzialmente che è possibile «trasferire» l'operazione di complemento dall'unione di due insiemi ai due insiemi stessi, avendo cura di convertire l'unione in intersezione (e un'analoga operazione vale per il complemento di un'intersezione).

Valgono, infine, delle particolari relazioni tra la differenza simmetrica, l'unione, l'intersezione e la differenza tra insiemi, come indicato nel teorema che segue.

Teorema 2

Dati due insiemi \(S, T \subseteq \Omega\):

\(S \ominus T = (S \backslash T) \cup (T \backslash S)\),
\(S \ominus T = (S \cup T) \backslash (S \cap T)\).

Dimostrazione.

La prima relazione è una conseguenza diretta della definizione di differenza simmetrica: infatti, per ogni \(x \in \Omega\), le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:

\(x \in S \ominus T\),
\((x \in S \vee x \notin T) \wedge (x \notin S \vee x \in T)\),
\((x \in S \backslash T) \wedge (x \in T \backslash S)\),
\(x \in (S \backslash T) \cup (T \backslash S)\).

Per quanto riguarda invece la seconda relazione, se \(x \in (S \cup T) \backslash (S \cap T)\), allora \(x \in (S \cup T)\) e \(x \notin (S \cap T)\), il che implica \((x \in S \vee x \in T) \wedge (x \notin S \cap T)\). Per la distribuzione della disgiunzione sulla congiunzione si ottiene \((x \in S \wedge x \notin S \cap T) \vee (x \in T \wedge x \notin S \cap T)\). Pertanto \(x \in S \backslash T \vee x \in T \backslash S\), e la relazione al primo punto, appena dimostrata, implica \(x \in S \ominus T\). Dunque \((S \cup T) \backslash (S \cap T) \subseteq S \ominus T\). Procedendo in modo analogo si dimostra \(S \ominus T \subseteq (S \cup T) \backslash (S \cap T)\), il che implica la tesi.

Le operazioni di unione e intersezione permettono di introdurre la partizione di un insieme, intesa come una sua scomposizione in parti non sovrapposte.

Definizione 10 (Partizione)

Una partizione di un insieme \(S\) è una famiglia \(\mathcal{P} = \{ P_1, P_2, \ldots, P_k \}\) di sottoinsiemi non vuoti di \(S\), detti blocchi o classi, tale che:

\(P_i \cap P_j = \varnothing\) per ogni \(i \neq j\) (i blocchi non si sovrappongono);
\(\cup_{i=1}^k P_i = S\) (i blocchi ricoprono \(S\)).

In altre parole, una partizione assegna ogni elemento di \(S\) a esattamente una delle classi: ogni elemento appartiene a uno e un solo blocco. Una conseguenza immediata della definizione è che, dati due blocchi distinti \(P_i\) e \(P_j\), un elemento non può appartenere a entrambi.

Esempio 21

Consideriamo l'insieme degli Avengers, nella loro formazione originale: \(S = \{ \text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}, \text{Iron Man}, \text{Black Widow}, \text{Hawkeye} \}\).

La famiglia \(\mathcal{P}_1 = \bigl\{ \{\text{Capitan America}, \text{Iron Man}\},\, \{\text{Hulk}, \text{Thor}\},\, \{\text{Black Widow}, \text{Hawkeye}\} \bigr\}\) è una partizione di \(S\): i tre blocchi sono disgiunti e insieme coprono tutti gli eroi.
Al contrario, la famiglia \(\mathcal{P}_2 = \bigl\{ \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}\},\, \{\text{Thor}, \text{Iron Man}, \text{Black Widow}, \text{Hawkeye}\} \bigr\}\) non è una partizione di \(S\), in quanto Thor compare in entrambi i blocchi.
Analogamente, \(\mathcal{P}_3 = \bigl\{ \{\text{Capitan America}, \text{Thor}, \text{Iron Man}\},\, \{\text{Hulk}, \text{Black Widow}\} \bigr\}\) non è una partizione di \(S\), perché Hawkeye non appartiene a nessun blocco.

Un insieme \(S\) ammette sempre due partizioni banali: quella composta da un unico blocco \(\{S\}\) e quella in cui ogni blocco è un singoletto, \(\bigl\{ \{s\} \mid s \in S \bigr\}\). Infine, una partizione di un insieme \(S\) in due blocchi è strettamente legata all'operazione di complemento: se \(A \subseteq S\) è un sottoinsieme non vuoto e diverso da \(S\), allora \(\{A,\, S \setminus A\}\) è una partizione di \(S\) in due blocchi.

17.4.1. Vero o falso?#

Analizzate ciascuna delle seguenti affermazioni, che riguardano le operazioni tra insiemi, e dite se è vera o falsa, motivando il vostro ragionamento. Cliccate su di essa per visualizzare la risposta corretta.

La differenza tra insiemi è commutativa: \(S \setminus T = T \setminus S\) per ogni scelta di \(S\) e \(T\).

Falsa. In generale \(S \setminus T\) contiene elementi di \(S\) che non si trovano in \(T\), mentre \(T \setminus S\) contiene gli elementi di \(T\) che non sono membri di \(S\). Pertanto la differenza non è commutativa, come confermato nell'Esempio 20: prendendo \(O = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}\}\) e \(V = \{\text{Thor}, \text{Iron Man}\}\) si ha \(O \setminus V = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}\}\) mentre \(V \setminus O = \{\text{Iron Man}\}\): i due risultati sono diversi.

Il complemento \(\overline S\) coincide con la differenza \(\Omega \setminus S\).

Vera. L'insieme complemento viene introdotto nella Definizione 8 esattamente in questo modo: \(\overline S = \{ x \in \Omega \mid x \notin S \} = \Omega \setminus S\). Il complemento di \(S\) è quindi la differenza tra l'universo e \(S\): tutti gli elementi dell'universo che non appartengono a \(S\).

Per le leggi di De Morgan, \(\overline{S \cup T} = \overline S \cup \overline T\).

Falsa. Il Teorema 1 stabilisce che \(\overline{S \cup T} = \overline S \cap \overline T\), non l'unione. Passare al complemento di un'unione equivale a fare l'intersezione dei complementi (e viceversa: \(\overline{S \cap T} = \overline S \cup \overline T\)). L'errore comune è «portare la barra dentro» senza cambiare l'operazione, mentre le leggi di De Morgan richiedono sempre di scambiare \(\cup\) con \(\cap\) e viceversa.

Se \(S \cap T = \varnothing\), allora \(S \ominus T = S \cup T\).

Vera. Il Teorema 2 garantisce che \(S \ominus T = (S \cup T) \setminus (S \cap T)\). Se \(S\) e \(T\) sono disgiunti, \(S \cap T = \varnothing\), e quindi \(S \ominus T = (S \cup T) \setminus \varnothing = S \cup T\). Intuitivamente: la differenza simmetrica esclude gli elementi comuni ai due insiemi, ma se non ce ne sono, coincide con l'unione.

In una partizione, due blocchi distinti possono condividere elementi.

Falsa. La Definizione 10 richiede esplicitamente che \(P_i \cap P_j = \varnothing\) per ogni coppia di indici distinti \(i \neq j\): i blocchi devono essere a due a due disgiunti. Come illustrato nell' Esempio 21, la famiglia \(\mathcal{P}_2\) — in cui Thor compare in due blocchi — non è una partizione proprio per questa ragione.

L'uguaglianza \(S \cap (T \cup U) = (S \cap T) \cup (S \cap U)\) è vera.

Vera. Lpuguaglianza sancisce la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione, che abbiamo visto valere sempre. In modo analogo, l'unione distribuisce rispetto all'intersezione: \(S \cup (T \cap U) = (S \cup T) \cap (S \cup U)\).

17.4.2. Esercizi#

Esercizio 94

Sia

\[\Omega = \{ \text{Batman}, \text{Superman}, \text{Thor}, \text{Wolverine}, \text{Deadpool}, \text{Storm}, \text{Cyborg} \} \enspace.\]

Partendo dai seguenti insiemi di supereroi:

\[\begin{align*} A &= \{ \text{Batman}, \text{Thor}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg} \} \enspace, \\ B &= \{ \text{Superman}, \text{Thor}, \text{Storm}, \text{Wolverine} \} \enspace, \\ C &= \{ \text{Deadpool}, \text{Cyborg}, \text{Batman} \} \enspace, \end{align*}\]

descrivete i seguenti insiemi in modo estensivo:

\(A \cap B\),
\(\overline C\),
\(A \setminus C\),
\(A \ominus B\),
\(\overline A \cap (B \cup C)\),
\(A \cup (B \cap C)\),
\((A \cap \overline B) \cup C\),
\((A \cap C) \cup (B \cap C)\).

Solution to Esercizio 94

\(A \cap B = \{\text{Thor}\}\).
\(\overline C = B = \{ \text{Superman}, \text{Thor}, \text{Storm}, \text{Wolverine} \}\),
\(A \setminus C = \{ \text{Thor} \}\).
\(A \cup B = \Omega\) e \(A \cap B = \{\text{Thor}\}\), per cui \(A \ominus B = \Omega \setminus \{ \text{Thor} \} = \{ \text{Batman}, \text{Superman}, \text{Wolverine}, \text{Deadpool}, \text{Storm}, \text{Cyborg} \}\)
\(\overline A = \{\text{Superman}, \text{Wolverine}, \text{Storm} \}\) e \(B \cup C = \Omega\), quindi \(\overline A \cap (B \cup C) = \overline A = \{ \text{Superman}, \text{Wolverine}, \text{Storm} \}\).
\(B \cap C = \varnothing\), quindi \(A \cup (B \cap C) = A = \{ \text{Batman}, \text{Thor}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg}\}\).
\(A \cap \overline B = \{ \text{Batman}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg} \} = C\), quindi \((A \cap \overline B) \cup C = C = \{ \text{Batman}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg} \} = C\).
Poiché \(C \subseteq A\), si ha \(A \cap C = C\). Inoltre, \(B \cap C = \varnothing\), per cui \((A \cap C) \cup (B \cap C) = C = C = \{ \text{Batman}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg} \}\).

Esercizio 95

Siano \(E\), \(F\) e \(G\) tre insiemi di supereroi. Indicate le espressioni algebriche, in termini di intersezioni, unioni e complementi, che permettono di esprimere gli insiemi che seguono.

Solo i supereroi in \(E\).
I supereroi in \(E\) e in \(G\), ma non in \(F\).
I supereroi in almeno uno dei tre insiemi.
I supereroi in almeno due dei tre insiemi.
I supereroi in tutti e tre gli insiemi.
Nessun supereroe (l'insieme vuoto).
I supereroi in non più di un insieme.
I supereroi in non più di due insiemi.
I supereroi in esattamente due insiemi.
I supereroi in non più di tre insiemi.

Solution to Esercizio 95

\(E \cap \overline F \cap \overline G\).
\(E \cap G \cap \overline F\).
\(E \cup F \cup G\).
\((E \cap F) \cup (E \cap G) \cup (F \cap G)\).
\(E \cap F \cap G\).
\(\emptyset\).
Si tratta del complementare dell'insieme al punto 4:

\[\overline{E \cap F} \cap \overline{E \cap G} \cap \overline{F \cap G}.\]
L'insieme richiesto è il complementare di quello ottenuto al punto 5: \(\overline{E \cap F \cap G}\).
Essere esattamente in due insiemi equivale ad essere almeno in due, ma non in tutti e tre:

\[\bigl( (E \cap F) \cup (E \cap G) \cup (F \cap G) \bigr) \cap \overline{E \cap F \cap G}.\]
Ogni supereroe appartiene ad al più tre insiemi per definizione. Dunque l'insieme richiesto è l'universo \(\Omega\).

Esercizio 96

Semplificate, dove possibile, le seguenti espressioni.

\(E \cup \overline E\).
\(E \cap \overline E\).
\((E \cup F) \cap (E \cup \overline F)\).
\((E \cup F) \cap (\overline E \cup F) \cap (E \cup \overline F)\).
\((E \cup F) \cap (F \cup G)\).

Solution to Esercizio 96

\(E \cup \overline E = \Omega\) per il principio del terzo escluso: una proposizione deve essere vera oppure falsa, pertanto per ogni \(\omega \in \Omega\) deve essere vero \(\omega \in E\) oppure \(\omega \notin E\), il che rende \(\omega \in E \cup \overline E\), che coinciderà con l'universo.
\(E \cap \overline E = \varnothing\) per il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere al tempo stesso vera e falsa, dunque, per ogni \(\omega \in \Omega\), una e una sola tra \(\omega \in E\) e \(\omega \notin E\) deve essere vera, il che rende falsa la loro congiunzione. Pertanto nessun \(\omega \in \Omega\) appartiene a \(E \cap \overline E\), proprietà che lo caratterizza come l'insieme vuoto.
Per la distributività dell'unione rispetto all'intersezione si ha \((E \cup F) \cap (E \cup \overline F) = E \cup (F \cap \overline F) = E \cup \varnothing = E\).
Per l'associatività dell'intersezione, \((E \cup F) \cap (\overline E \cup F) \cap (E \cup \overline F) = (E \cup F) \cap (E \cup \overline F) \cap (\overline E \cup F)\); per il risultato al punto precedente, la prima intersezione è uguale a \(E\), e dunque tutta l'espressione equivale a \(E \cap (\overline E \cup F) = (E \cap \overline E) \cup (E \cap F) = \varnothing \cup (E \cap F) = E \cap F\).
Per la commutatività dell'intersezione, \((E \cup F) \cap (F \cup G) = (F \cup E) \cap (F \cup G)\), e applicando la distribuzione dell'intersezione rispetto all'unione si ottiene \((F \cup E) \cap (F \cup G) = F \cup (E \cap G)\).

Esercizio 97

Dati tre insiemi \(M, D, H\) in un universo \(\Omega\), dimostrate la validità delle seguenti relazioni usando i diagrammi di Venn.

\(M \cap D \subseteq M \subseteq M \cup D\).
Se \(H \subseteq \overline M\), allora \(M \subseteq \overline H\).
\(D = (D \cap M) \cup (D \cap M^c)\).
\(M \cup D = M \cup (M^c \cap D)\).

Solution to Esercizio 97

\(M \cap D \subseteq M \subseteq M \cup D\)

Il diagramma che segue mostra i tre insiemi: il tratteggio diagonale discendente copre l'unione \(M \cup D\); il colore azzurro di \(M\) si sovrappone a a questo tratteggio, rendendo visibile che \(M\) è contenuto in \(M \cup D\); il tratteggio diagonale ascendente contrassegna invece \(M \cap D\), che risulta dunque interamente contenuto in \(M\).

BG_COLOR = 'white'

def _ex_setup_ax(ax):
    ax.set_facecolor(BG_COLOR)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.axis('off')
    ax.set_xlim(0, 12)
    ax.set_ylim(0, 8)
    ax.add_patch(FancyBboxPatch((0.2, 0.2), 11.6, 7.6,
                                boxstyle='square,pad=0',
                                facecolor=BG_COLOR, edgecolor=EDGE_COLOR,
                                linewidth=1.1, zorder=0))
    ax.text(11.5, 7.5, r'$\Omega$', fontsize=MATH_SIZE, ha='right', va='top')

_M2_XY = (5.0, 3.7); _M2_W, _M2_H = 5.5, 4.8
_D2_XY = (7.8, 4.0); _D2_W, _D2_H = 4.5, 3.8

fig, ax = plt.subplots(figsize=(3.2, 2.4), facecolor=BG_COLOR)
_ex_setup_ax(ax)
ax.text(2.5, 6.3, r'$M$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')
ax.text(9.3, 6.1, r'$D$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')


ax.add_patch(Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                        facecolor=FILL_COLOR, edgecolor=EDGE_COLOR,
                        hatch='\\\\', linewidth=0, zorder=2))
ax.add_patch(Ellipse(xy=_D2_XY, width=_D2_W, height=_D2_H,
                        facecolor=BG_COLOR, edgecolor=EDGE_COLOR,
                        hatch='\\\\', linewidth=0, zorder=1))


ax.add_patch(Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                     facecolor=HIGHLIGHT, alpha=0.5, edgecolor='none', zorder=1))


_clip_D = Ellipse(xy=_D2_XY, width=_D2_W, height=_D2_H,
                  facecolor='none', edgecolor='none')
ax.add_patch(_clip_D)
_inter_hatch = Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                       facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR, hatch='//', zorder=3)
ax.add_patch(_inter_hatch)
_inter_hatch.set_clip_path(_clip_D)

for xy, w, h in [(_M2_XY, _M2_W, _M2_H), (_D2_XY, _D2_W, _D2_H)]:
    ax.add_patch(Ellipse(xy=xy, width=w, height=h,
                          facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR,
                          linewidth=1.2, zorder=4))
plt.tight_layout()
plt.show()

../../_images/475e47b390868c3234c9043b2cad1cd73628898b948216182c0231c969591f7d.png

Se \(H \subseteq \overline{M}\), allora \(M \subseteq \overline{H}\)

Siccome \(H \subseteq \overline{M}\), ogni elemento di \(H\) non è un elemento di \(M\), il che sinifica che i due eventi devono essere disgiunti, come evidenziato nel diagramma qui sotto. Di conseguenza, ogni elemento di \(M\) non può essere un elemento di \(H\), il che significa \(M \subseteq \overline{H}\).

_H2_XY  = (3.5, 4.0); _H2_W,  _H2_H  = 4.2, 3.8
_M2d_XY = (8.5, 4.0); _M2d_W, _M2d_H = 4.2, 3.8

fig, ax = plt.subplots(figsize=(3.2, 2.4), facecolor=BG_COLOR)
_ex_setup_ax(ax)
ax.text(1.2,  6.2, r'$H$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')
ax.text(10.4, 6.2, r'$M$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')

ax.add_patch(Ellipse(xy=_H2_XY, width=_H2_W, height=_H2_H,
                          facecolor=FILL_COLOR, edgecolor=EDGE_COLOR,
                          linewidth=1.2, zorder=4))
ax.add_patch(Ellipse(xy=_M2d_XY, width=_M2d_W, height=_M2d_H,
                          facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR,
                          linewidth=1.2, zorder=4))

plt.tight_layout()
plt.show()

../../_images/8aa2e07fd13230912aa32978ce8235fe8bfd465bacd4a26bce20b31fdefdffa8.png

\(M = (M \cap D) \cup (M \cap \overline{D})\)

Il diagramma che segue evidenzia rispettivamente \(M \cap D\) (la parte di \(M\) che si sovrappone a \(D\)) usando un tratteggio, e \(M \cap \overline{D}\) (la parte di \(M\) esterna a \(E\)) usando un altro tratteggio. Come si vede, questi due insiemi, considerati insieme, ricoprono esattamente \(M\).

_M2_XY = (5.0, 3.7); _M2_W, _M2_H = 5.5, 4.8
_D2_XY = (7.8, 4.0); _D2_W, _D2_H = 4.5, 3.8

fig, ax = plt.subplots(figsize=(3.2, 2.4), facecolor=BG_COLOR)
_ex_setup_ax(ax)
ax.text(2.5, 6.3, r'$M$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')
ax.text(9.3, 6.1, r'$D$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')

# M (full): /// hatch
ax.add_patch(Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                     facecolor=FILL_COLOR, edgecolor=EDGE_COLOR,
                     hatch='///', linewidth=0, zorder=1))
# D full: BG_COLOR — blanks out M's color and hatch everywhere inside D
ax.add_patch(Ellipse(xy=_D2_XY, width=_D2_W, height=_D2_H,
                     facecolor=BG_COLOR, edgecolor='none',
                     linewidth=0, zorder=2))
# Clip ellipse for D
_clip_D = Ellipse(xy=_D2_XY, width=_D2_W, height=_D2_H,
                  facecolor='none', edgecolor='none')
ax.add_patch(_clip_D)
# Restore FILL_COLOR in the intersection
_inter_fill = Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                      facecolor=FILL_COLOR, edgecolor='none', zorder=3)
ax.add_patch(_inter_fill)
_inter_fill.set_clip_path(_clip_D)
# Apply \\\ hatch to the intersection
_inter_hatch = Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                       facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR, hatch=3*'\\', zorder=4)
ax.add_patch(_inter_hatch)
_inter_hatch.set_clip_path(_clip_D)

for xy, w, h in [(_M2_XY, _M2_W, _M2_H), (_D2_XY, _D2_W, _D2_H)]:
    ax.add_patch(Ellipse(xy=xy, width=w, height=h,
                          facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR,
                          linewidth=1.2, zorder=4))
plt.tight_layout()
plt.show()

../../_images/06a5c51125aa62309e8cda9107de1148b8f5ec03ec7ed9eb45c0ff77a93e738f.png

\(M \cup D = M \cup (\overline{M} \cap D)\)

Nel diagramma qui sotto, viene utilizzato un tipo di tratteggio per mettere in evidenza \(\overline{M} \cap D\), che contiene tutti i punti che si trovano in \(D\) ma non in \(M\). Quet'ultimo è nvece descritto dall'altro tipo di tratteggio, e si vede come considerando tutta l'area in cui è presente uno dei due tratteggi si ottenga proprio \(M \cup D\).

_M2_XY = (5.0, 3.7); _M2_W, _M2_H = 5.5, 4.8
_D2_XY = (7.8, 4.0); _D2_W, _D2_H = 4.5, 3.8

fig, ax = plt.subplots(figsize=(3.2, 2.4), facecolor=BG_COLOR)
_ex_setup_ax(ax)
ax.text(2.5, 6.3, r'$M$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')
ax.text(9.3, 6.1, r'$D$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')

# D full: HIGHLIGHT + \\\ hatch (gives D\M its hatch and color)
ax.add_patch(Ellipse(xy=_D2_XY, width=_D2_W, height=_D2_H,
                     facecolor=HIGHLIGHT, edgecolor=EDGE_COLOR,
                     hatch=3*'\\', linewidth=0, zorder=1))
# M full: HIGHLIGHT solid (covers D's hatch in the intersection)
ax.add_patch(Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                     facecolor=HIGHLIGHT, edgecolor='none',
                     linewidth=0, zorder=2))
# M hatch: /// over all of M
ax.add_patch(Ellipse(xy=_M2_XY, width=_M2_W, height=_M2_H,
                     facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR,
                     hatch='///', linewidth=0, zorder=3))

for xy, w, h in [(_M2_XY, _M2_W, _M2_H), (_D2_XY, _D2_W, _D2_H)]:
    ax.add_patch(Ellipse(xy=xy, width=w, height=h,
                          facecolor='none', edgecolor=EDGE_COLOR,
                          linewidth=1.2, zorder=4))
plt.tight_layout()
plt.show()

../../_images/b9062566f30e352df8d68eb7be39f9076024d7d6972250386e36f1f61bc3c7e0.png

Esercizio 98

Considerate l'universo \(\Omega\) e gli insiemi \(A\), \(B\) e \(C\) definiti nell’Esercizio 94.

Determinate se ciascuna delle seguenti famiglie è una partizione di \(\Omega\), motivando la risposta.
- \(\mathcal{F}_1 = \{ A, B, C \}\).
- \(\mathcal{F}_2 = \{ A, \overline A\}\).
- \(\mathcal{F}_3 = \{ A \cap B, A \setminus B, \overline A \}\).
- \(\mathcal{F}_4 = \{ A \cap B, A \ominus B, \overline{A \cup B} \}\).
- \(\mathcal{F}_5 = \{ C, B \setminus C, \overline C \}\).
Trovate una partizione di \(\Omega\) in quattro blocchi tale che uno dei blocchi sia \(\{\text{Wolverine}, \text{Deadpool}\}\).
Determinate tutte le partizioni di \(\Omega\) che contengono \(A \ominus B\).

Solution to Esercizio 98

Richiamiamo gli insiemi dall’Esercizio 94:

\[\begin{align*} A &= \{\text{Batman}, \text{Thor}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg}\},\\ B &= \{\text{Superman}, \text{Thor}, \text{Storm}, \text{Wolverine}\},\\ C &= \{\text{Batman}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg}\}. \end{align*}\]

Consideriamo i quattro casi separatamente.
- \(\mathcal{F}_2 = \{ A, B, C \}\) non è una partizione di \(\Omega\), essendo \(A\) e \(B\) non disgiunti (contengono entrambi Thor), così come non lo sono \(A\) e \(C\) (che contengono Batman, Deadpool e Cyborg).
- \(\mathcal{F}_2 = \{ A, \overline A \}\) è una partizione di \(\Omega\), per ogni insieme \(A \subseteq \Omega\) non vuoto: \(A\) e \(\overline A\) sono disgiunti e la loro unione è \(\Omega\).
- \(\mathcal{F}_3 = \{ A \cap B, A \setminus B, \overline A \}\) è una partizione di \(\Omega\), formata dai tre blocchi \(\{ \text{Thor} \}\), \(\{ \text{Batman}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg} \}\) e \(\{ \text{Superman}, \text{Wolverine}, \text{Storm} \}\), che sono a due a due disgiunti e la cui unione è \(\Omega\). Si noti che questo riflette la scomposizione \(\Omega = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup \overline A\), valida per qualsiasi coppia di insiemi \(A, B\).
- \(\mathcal{F}_4 = \{ A \cap B, A \ominus B, \overline{A \cup B} \}\) non è una partizione di \(\Omega\): poiché \(A \cup B = \Omega\), si ha \(\overline{A \cup B} = \varnothing\), che è un blocco vuoto, e questo viola la definizione di partizione.
- \(\mathcal{F}_5 = \{ C, A \setminus C, \overline C \}\) non è una partizione di \(\Omega\), in quanto \(A \setminus C\) e \(\overline C\) non sono disgiunti (contengono entrambi Thor).
Una possibile partizione in quattro blocchi che contiene \(\{\text{Wolverine}, \text{Deadpool}\}\) come uno dei blocchi è la seguente:

\[\bigl\{ \{\text{Wolverine}, \text{Deadpool}\},\; \{\text{Batman}, \text{Cyborg}\},\; \{\text{Superman}, \text{Storm}\},\; \{\text{Thor}\} \bigr\}.\]

\(A \ominus B = \{ \text{Batman}, \text{Deadpool}, \text{Cyborg}, \text{Superman}, \text{Storm}, \text{Wolverine} \} = \Omega \setminus \{ \text{Thor} \}\), pertanto l'unica partizione possibile è

\[\bigl\{ A \ominus B, \{\text{Thor}\} \bigr\}.\]

17.4.3. Concetti fondamentali#

Pensate ai concetti fondamentali illustrati in questo paragrafo ed elencateli. Nella lista qui sotto sono già presenti gli stessi concetti, ma nascosti. Cliccate sul pulsante per mostrarli sotto forma di parole chiave, quindi confrontateli con la vostra lista. Provate infine a descrivere ciascun concetto con parole vostre.