17.1. Concetti di base

In accordo con la definizione riportata all'inizio del capitolo, nonché con la comune notazione matematica, indicherò di norma gli insiemi con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino e i loro elementi con le corrispondenti lettere minuscole. Per indicare che un elemento \(a\) appartiene a un insieme \(A\) scriverò \(a \in A\), mentre per indicare che \(b\) non vi appartiene scriverò \(b \notin A\).

Un insieme può essere rappresentato:

• estensivamente, cioè elencando tutti i suoi elementi: per esempio, l'insieme \(O\) dei membri degli Avengers che hanno una forza sovrumana si può indicare estensivamente come \(O = \{ \text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor} \}\);

• intensivamente, specificando una proprietà che individua tutti e soli gli elementi dell'insieme: l'insieme descritto al punto precedente ammette per esempio la descrizione intensiva

\[O = \{ \text{Componenti degli Avengers con forza sovrumana} \} \enspace;\]

• tramite un diagramma di Venn, indicando gli elementi come punti in una porzione di piano e racchiudendoli dentro un'ellisse: l'insieme \(O\) descritto nei punti precedenti è illustrato nella Figura 14.

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Ellipse, Rectangle

MATH_SIZE = 9
TEXT_SIZE = 7

EDGE_COLOR = '#333333'
BG_COLOR = '#eaf3f5'
FILL_COLOR_A = '#d6e4f7'
FILL_COLOR_O = '#aac5e8'
DOT_COLOR = '#2255aa'


def simple_venn(universe=False):
    fig, ax = plt.subplots(facecolor=BG_COLOR)
    ax.set_facecolor(BG_COLOR)
    ax.set_aspect("equal")
    ax.axis("off")
    ax.set_xlim(0, 12)
    ax.set_ylim(0, 8)

    if universe:
        rect = Rectangle((0.1, 0.1), 11.8, 7.8,
                        facecolor=BG_COLOR, edgecolor=EDGE_COLOR,
                        linewidth=1.1, zorder=0)
        ax.add_patch(rect)
        ax.text(11.6, 7.6, r'$\Omega$', fontsize=MATH_SIZE, ha='right', va='top')

        for name, x, y, xof, yof in [('Iron\nMan',    1.7, 5,    0.8, 0),
                                 ('Black\nWidow', 9.8, 5.5,  0,  -0.9),
                                 ('Hawkeye',      2.5, 2.6, -0.1, 0.4),
                                 ('Ant-Man',      9.5, 2.2, -1.1, 0)]:
            ax.plot(x, y, "o", markersize=4, color=DOT_COLOR, zorder=4)
            ax.text(x + xof, y + yof, name, ha='center', va='center',
                    fontsize=TEXT_SIZE, zorder=5)

    ellipse_O = Ellipse(xy=(6, 3.8), width=5.5, height=3.2,
                        facecolor=FILL_COLOR_O, edgecolor=EDGE_COLOR,
                        linewidth=1.2, zorder=2)
    ax.add_patch(ellipse_O)
    ax.text(3.9, 5.7, r'$O$', fontsize=MATH_SIZE, va='top')

    for name, x, y, xof, yof in [('Thor',             5.2, 4.7, 0.8, 0),
                                 ('Hulk',             8,   4,  -0.8, 0),
                                 ('Capitan\nAmerica', 4,   3.3, 1.2, 0)]:
        ax.plot(x, y, "o", markersize=4, color=DOT_COLOR, zorder=4)
        ax.text(x + xof, y + yof, name, ha='center', va='center',
                fontsize=TEXT_SIZE, zorder=5)

    return fig

fig = simple_venn()
plt.tight_layout()
plt.show()

Figura 14 Un diagramma di Venn che descrive l'insieme \(O = \{ \text{Componenti degli Avengers con forza sovrumana} \}\).

La descrizione tramite diagramma di Venn presuppone di conoscere, almeno in linea di principio, tutti gli elementi che potrebbero far parte di un insieme. L'insieme di tutti i possibili elementi si chiama insieme universo e si indica di solito con \(\Omega\). Nell'esempio precedente, una scelta ragionevole per l'universo potrebbe far coincidere \(\Omega\) con l'insieme degli Avengers, quindi un diagramma di Venn più completo per \(O\) è quello riportato nella Figura 15.

▶ Mostra codice

fig = simple_venn(universe=True)
plt.tight_layout()
plt.show()

Figura 15 Un diagramma di Venn che illustra l'insieme \(O\) della Figura 14 all'interno dell'universo \(\Omega\) degli Avengers.

L'insieme universo contiene qualunque elemento, e — all'estremo opposto — è utile considerare l'insieme che non ne contiene nessuno: si chiama insieme vuoto e lo indicherò con \(\varnothing\), in modo che per ogni \(a \in \Omega\) valga \(a \notin \varnothing\).

17.1.1. Vero o falso?

Analizzate ciascuna delle seguenti affermazioni, che riguardano il concetto di insieme, e dite se è vera o falsa, motivando il vostro ragionamento. Cliccate su di essa per visualizzare la risposta corretta.

Se \(a \in A\), allora la scrittura \(a \notin A\) è falsa.

Vera. Le notazioni \(a \in A\) (leggi: «\(a\) appartiene ad \(A\)») e \(a \notin A\) («\(a\) non appartiene ad \(A\)») sono la negazione l'una dell'altra: se un elemento appartiene a un insieme, affermare che non vi appartiene è necessariamente falso. Le due scritture non possono essere vere allo stesso tempo.

La rappresentazione estensiva di un insieme consiste nello specificare una proprietà che ne caratterizza gli elementi.

Falsa. Quella descritta è la rappresentazione intensiva: specificare una proprietà che individua tutti e soli gli elementi dell'insieme. La rappresentazione estensiva consiste invece nell'elencare esplicitamente tutti gli elementi, come in \(O = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}\}\).

Lo stesso insieme può essere descritto sia estensivamente sia intensivamente.

Vera. Il testo mostra esattamente questo per l'insieme \(O\) degli Avengers con forza sovrumana: esso ammette la rappresentazione estensiva \(O = \{\text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Thor}\}\) e quella intensiva \(O = \{\text{Componenti degli Avengers con forza sovrumana}\}\). Le due descrizioni individuano la stessa collezione di oggetti.

Per costruire un diagramma di Venn è necessario avere in mente l'insieme universo.

Vera. Come osservato nel testo, la descrizione tramite diagramma di Venn presuppone di conoscere, almeno in linea di principio, tutti gli elementi che potrebbero far parte di un insieme. Questi elementi costituiscono l'insieme universo \(\Omega\), che nel diagramma viene di solito raffigurato come il rettangolo esterno in cui sono contenute le ellissi degli insiemi.

L'insieme universo \(\Omega\) è uguale per tutti i problemi.

Falsa. La scelta di \(\Omega\) dipende dal contesto. Nel testo, per descrivere l'insieme \(O\) degli Avengers con forza sovrumana, si può scegliere come universo l'insieme degli Avengers. In un altro problema lo stesso \(O\) potrebbe essere inserito in un universo più ampio. La scelta di \(\Omega\) è parte della modellazione del problema, non è fissata a priori.

Per ogni elemento \(a\) dell'insieme universo \(\Omega\), vale \(a \notin \varnothing\).

Vera. Questa è esattamente la definizione dell'insieme vuoto \(\varnothing\) riportata nel testo: non contiene nessun elemento, quindi per ogni \(a \in \Omega\) vale \(a \notin \varnothing\). In altri termini, qualunque elemento si scelga nell'universo, esso non potrà mai appartenere all'insieme vuoto.

17.1.2. Esercizi

Esercizio 82

Considerate come insieme universo \(\Omega\) i sei personaggi Capitan America, Iron Man, Thor, Hulk, Black Widow e Hawkeye. Sia \(S\) l'insieme dei personaggi di \(\Omega\) che possiedono capacità fisiche sovrumane senza ricorrere a gadget o armature.

1. Scrivete \(S\) in forma estensiva.

2. Scrivete una possibile descrizione intensiva di \(S\).

3. Indicate due elementi di \(\Omega\) che non appartengono a \(S\).

Solution to Esercizio 82

1. Una possibile rappresentazione estensiva è \(S = \{ \text{Capitan America}, \text{Thor}, \text{Hulk} \}\).

2. Una descrizione intensiva possibile è «personaggi di \(\Omega\) con capacità fisiche sovrumane non dovute a equipaggiamenti esterni».

3. Ad esempio, Iron Man e Hawkeye non appartengono a \(S\). Anche Black Widow non vi appartiene.

Esercizio 83

Nel testo, l'insieme \(O\) dei componenti degli Avengers con forza sovrumana è inserito nell'universo degli Avengers. Proponete un altro possibile insieme universo \(\Omega'\) per lo stesso insieme \(O\), più ampio del precedente, e spiegate:

1. perché \(O\) resta lo stesso insieme;

2. in che senso cambierebbe il diagramma di Venn.

Solution to Esercizio 83

Una possibile scelta è prendere come universo \(\Omega'\) l'insieme di tutti i supereroi Marvel, o anche quello di tutti i personaggi Marvel.

1. L'insieme \(O\) resta lo stesso perché continua a essere formato dai componenti degli Avengers che hanno forza sovrumana: cambia il contesto in cui lo osserviamo, ma non la proprietà che ne definisce gli elementi.

2. Nel diagramma di Venn, l'ellisse che rappresenta \(O\) conterrebbe gli stessi punti di prima, ma il rettangolo dell'universo sarebbe più grande e includerebbe molti più elementi esterni a \(O\).

Esercizio 84

Considerate come insieme universo \(\Omega = \{ \text{Batman}, \text{Superman}, \text{Wonder Woman}, \text{Flash} \}\). Sia \(E\) l'insieme degli elementi di \(\Omega\) che sono contemporaneamente kryptoniani e amazzoni.

1. Scrivete \(E\) in forma estensiva.

2. Spiegate perché \(E = \varnothing\).

3. Stabilite se l'affermazione \(\text{Flash} \in E\) è vera o falsa.

Solution to Esercizio 84

1. L'insieme \(E\) non contiene nessun elemento, quindi in forma estensiva si scrive \(E = \varnothing\).

2. Nell'universo scelto nessun personaggio è allo stesso tempo kryptoniano e amazzone. Superman è kryptoniano ma non è un'amazzone; Wonder Woman è un'amazzone ma non è kryptoniana; Batman e Flash non soddisfano nessuna delle due proprietà.

3. L'affermazione \(\text{Flash} \in E\) è falsa, perché nessun elemento appartiene all'insieme vuoto.

17.1.3. Concetti fondamentali

Pensate ai concetti fondamentali illustrati in questo paragrafo ed elencateli. Nella lista qui sotto sono già presenti gli stessi concetti, ma nascosti. Cliccate sul pulsante per mostrarli sotto forma di parole chiave, quindi confrontateli con la vostra lista. Provate infine a descrivere ciascun concetto con parole vostre.