20.1. Le distribuzioni di Bernoulli#

Il tipo più semplice di modello casuale è quello nel quale l'esecuzione di un esperimento ha due soli possibili esiti. Esperimenti di questo tipo, che vengono tipicamente chiamati esperimenti di Bernoulli, danno luogo a una famiglia di distribuzioni di probabilità che è anch'essa detta famiglia di Bernoulli.

20.1.1. Il modello di Bernoulli#

Si usa generalmente il termine esperimento di Bernoulli per indicare un esperimento casuale ha due soli possibili esiti, che vengono convenzionalmente indicati come «successo» e «fallimento», così che lo spazio degli eventi risulta essere $\Omega = \{ \text{fallimento}, \text{successo} \}$.

Esempio 121

Le denominazioni «successo» e «fallimento» non hanno generalmente le connotazioni positive e negative che diamo loro nel linguaggio comune, ma come etichette usate per rappresentare in modo astratto i due esiti dell'esperimento in questione. Se l'esecuzione dell'esperimento consiste nel selezionare secondo qualche criterio non deterministico un fumetto all'interno di una pila, il successo potrebbe essere associato all'estrazione di un volume

con una pagina strappata,
che contiene almeno una storia della nostra supereroina preferita,
in cui c'è almeno una vignetta con un personaggio che indossa un cappotto blu.

In linea generale, queste tre situazioni vengono valutate rispettivamente in modo negativo, positivo e neutro, ma in tutti i casi ci stiamo riferendo al successo in un esperimento di Bernoulli. Vale la pena sottolineare che in modo del tutto analogo potremmo pensare a esperimenti di Bernoulli, un un certo senso duali rispetto a quelli sopra indicati, nei quali i medesimi avvenimenti identificano il fallimento.

Dato un generico esperimento di Bernoulli, sia $p \in [0, 1]$ la probabilità di ottenere un successo come esito. La variabile aleatoria $X: \Omega \to \{ 0, 1 \}$ definita in modo tale che

\[X(w) = \begin{cases} 0 & \text{se $w = \text{fallimento}$,} \\ 1 & \text{se $w = \text{successo}$,} \end{cases}\]

segue una distribuzione detta di Bernoulli, parametrizzata rispetto alla probabilità di successo $p$ e il cui supporto è l'insieme $\{ 0, 1 \}$. Chiaramente, gli eventi $X =0$ e $X = 1$ avranno rispettivamente probabilità uguali a $1 - p$ e $p$, da cui segue la prossima definizione.

Definizione 45 (La famiglia delle distribuzioni di Bernoulli)

Dato $p \in [0, 1]$, la distribuzione di Bernoulli di parametro $p$ è definita dalla funzione di massa di probabilità

\[f(x; p) = p^x (1 - p)^{1 - x} \mathrm I_{\{ 0, 1 \}}(x)\]

o, equivalentemente, dalla funzione di ripartizione

\[F(x; p) = (1 - p) \mathrm I_{[0, 1)}(x) + \mathrm I_{[1, +\infty)}(x) \enspace.\]

Scriveremo $X \sim \mathrm B(p)$ per indicare che la variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Bernoulli di parametro $p$. L'insieme di tutte le distribuzioni di Bernoulli al variare dei possibili valori per il relativo parametro viene detta famiglia delle distribuzioni di Bernoulli.

Chiaramente, la visualizzazione di questo tipo di funzione di massa di probabilità consiste nel mostrare due bastoncini aventi ascisse nulla e unitaria e altezza uguale a $1-p$ e $p$, mentre la funzione di ripartizione avrà un grafico costante a tratti, con due salti posizionati nelle stesse ascisse: il primo cambierà l'ordinata da $0$ a $1 - p$ e il secondo la modificherà da quest'ultimo valore a $1$, come evidenziato nella Figura 60, nella quale la spezzata blu mostra il grafico della funzione di ripartizione e il grafico a bastoncini indica la funzione di massa di probabilità. Modificando il valore del parametro $p$ agendo sul relativo selettore si può vedere come cambiano i due grafici.

import asyncio
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as st
from js import document, console
from pyscript import display
from pyscript.web import page, when

p_1 = float(page['#p-slider'][0].value)
B_1 = st.bernoulli(p_1)

fig_1, ax_1 = plt.subplots()
cdf = ax_1.hlines([0, B_1.pmf(0), 1], [-1, 0, 1], [0, 1, 2])
pmf = ax_1.vlines([0, 1], 0, [B_1.pmf(0), B_1.pmf(1)], color='k')

ax_1.set_xlabel('$x$', fontsize=12, ha='right')
ax_1.set_ylabel('$f, F$', fontsize=12, rotation=0)
ax_1.set_xlim(-1, 2)
ax_1.set_ylim(0, 1.1)


@when("input", "#p-slider")
def bernoulli_plot(event):

    p_1 = float(page['#p-slider'][0].value)
    page['#p-value'][0].innerHTML = f'{p_1:.1f}'

    B_1 = st.bernoulli(p_1)
    cdf_segments = [
        [[-1, 0], [0, 0]],
        [[0, B_1.pmf(0)], [1, B_1.pmf(0)]],
        [[1, 1], [2, 1]]
    ]
    cdf.set_segments(cdf_segments)
    
    # Update PMF vertical lines
    pmf_segments = [
        [[0, 0], [0, B_1.pmf(0)]],
        [[1, 0], [1, B_1.pmf(1)]]
    ]
    pmf.set_segments(pmf_segments)
    
    display(fig_1, target='graph-1', append=False)

display(fig_1, target='graph-1', append=False)

$ p $: 0.5

Figura 60 I grafici della funzione di massa di probabilità e di ripartizione del modello Bernoulliano.#

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Jakob_Bernoulli.jpg — Figura 61 Ritratto di Jakob Bernoulli (immagine di pubblico dominio, disponibile su wikimedia).#

Nomenclatura

Questa distribuzione deve il suo nome allo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (ritratto nella Figura 61, e da non confondere con il figlio Daniel, anch'esso noto matematico), che la introduce nel suo libro «Ars Conjectandi», considerato una tra le prime opere che trattano della teoria delle probabilità. Nella terminologia comune, e in alcuni casi anche in fonti scritte in lingua italiana, è abbastanza comune rimpiazzare la dicitura "di Bernoulli" con l'aggettivo bernoulliano, o perfino bernulliano (in alcuni casi con iniziale maiuscola) quando si vuole definire un esperimento di questo tipo o le distribuzioni e variabili aleatorie ad esso collegate. Dunque è possibile imbattersi nelle diciture «esperimento bernoulliano», «distribuzione Bernoulliana», «variabile aleatoria bernoulliana» e così via.

20.1.2. Valore atteso e varianza della distribuzione di Bernoulli#

Il fatto che siano presenti due sole specificazioni permette di ottenere agevolmente il valore atteso e la varianza della distribuzione calcolando estensivamente le sommatorie alla base dei corrispondenti valori attesi. Infatti, data una variabile aleatoria $X \sim \mathrm B(p)$,

\[\mathbb E(X) = \sum_{i=0}^1 i \; \mathbb P(X = i) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \enspace.\]

D'altra parte, $X^2 = X$ perché elevare $0$ oppure $1$ al quadrato non ne cambia il valore, e quindi $\mathbb E(X^2) = \mathbb E(X) = p$, il che implica $\mathrm{Var}(X) = \mathbb E(X^2) - \mathbb E(X)^2 = p - p^2 = p (1 - p)$.

La distribuzione di Bernoulli è decisamente semplice da trattare, essendo la relativa algebra formata dai soli quattro eventi

\[\mathcal A = \{ \emptyset, \text{fallimento}, \text{successo}, \Omega \}\]

che hanno rispettivamente probabilità $0$, $1-p$, $p$ e $1$. Normalmente, la parte più impegnativa legata al calcolo delle probabilità di questi eventi consiste nel determinare correttamente il valore del parametro $p$ partendo dalla descrizione dell'esperimento di Bernoulli dal quale si parte. In alcuni casi la probabilità di successo si determina in modo elementare, mentre in altri è necessario ricorrere alle tecniche di combinatorica che abbiamo visto nel Capitolo 16.

Esempio 122

Uno scatolone contiene 50 albi di fumetti, in dodici dei quali compare una e una sola storia con Aquaman come protagonista, mentre nei restanti albi Aquaman non compare mai. Scelgo a caso due albi dallo scatolone e indico con $X$ la variabile aleatoria che assume il valore $1$ quando negli albi che ho pescato posso leggere due storie diverse di Aquaman, e che vale $0$ in tutti gli altri casi. Chiaramente $X$ segue una distribuzione di Bernoulli, e il suo parametro è uguale alla probabilità $p$ che selezionando due albi dai 50 a disposizione, entrambi facciano parte del gruppo di dodici che parlano di Aquaman. A sua volta, $p$ è uguale al rapporto tra il numero di combinazioni di dodici oggetti in due posti (il numero di casi favorevoli) e il numero di combinazioni di cinquanta oggetti in due posti (il numero di casi possibili), pertanto

\[p = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{50}{2}} = \frac{12 \cdot 11}{50 \cdot 49} \approx 0.054 \enspace,\]

e dunque $X \sim \mathrm B(0.054)$. Pertanto

la probabilità di non pescare albi con due storie di Aquaman differenti è $\mathbb P(X = 0) = 0.946$, e
$\mathbb E(X) = 0.054$, il che significa che mediamente possiamo aspettarci che in poco più di cinque volte su cento selezioni casuali di due albi si arrivi a pescarne due con due storie diverse di Aquaman.

Se sapessimo che sei delle dodici copie in questione sono dei doppioni tutti identici tra loro, ci troveremmo di fronte a una variabile aleatoria $X'$ che segue ancora distribuzione di Bernoulli, ma in questo il calcolo del relativo parametro richiede un po' più di perizia. In particolare, quello che si complica è il calcolo del numero di casi favorevoli. Per ottenerlo possiamo seguire, per esempio, uno dei due seguenti ragionamenti:

il numero di modi di scegliere due albi dai dodici a disposizione è $\binom{12}{2} = 66$, ma $\binom{6}{2} = 15$ di questi corrispondono a coppie che contengono due albi uguali, dunque il numero di coppie con albi distinti è $66 - 15 = 51$;
ci sono $\binom{6}{2} = 15$ modi di comporre una coppia considerando solo gli albi di cui possediamo un'unica copia, e a questi bisogna aggiungere $6 \cdot 6 = 36$, che corrisponde al numero di possibili coppie che contengono uno dei doppioni e un altro albo; il risultato è, anche in questo caso, $51$.

La probabilità $p^\prime$ di estrarre due albi con due storie diverse di Aquaman in è quindi

\[p^\prime = \frac{51}{\frac{50 \cdot 49}{2}} \approx 0.041 \enspace.\]

Riassumendo, $X^\prime \sim \mathrm B(0.042)$, il che significa ad esempio che la media del numero di volte in cui si arriva a leggere due storie diverse di Aquaman scende a poco più di quattro volte su cento.

20.1.3. Momenti della distribuzione di Bernoulli (*)#

La funzione generatrice dei momenti per una distribuzione di Bernoulli si ottiene facilmente, assumendo questa distribuzione solamente due specificazioni. Infatti, dati $p \in [0, 1]$ e $X \sim \mathrm B(p)$,

\[m_X(t) = \mathbb E\left( \mathrm e^{tX} \right) = (1 - p) \mathrm e^0 + p \mathrm e^t = 1 + p \left( \mathrm e^t - 1 \right) \enspace.\]

Pertanto il momento primo della distribuzione è

\[\mu = m_X^\prime(0) = \left. p \mathrm e^t \right|_{t=0} = p \enspace,\]

che coincide con il valore atteso che abbiamo già calcolato. Per quanto riguarda invece i momenti centrali, poniamo $Y \triangleq X - p$ e calcoliamo

\[m_Y(t) = \mathbb E \left( \mathrm e^{tY} \right) = (1 - p) \mathrm e^{-tp} + p \mathrm e^{t(1-p)} \enspace,\]

così che il momento centrale $n$-esimo sarà uguale a

\[\begin{align*} \mu_n = m_Y^{(n)}(0) &= \left. p (1 - p) \left( (1 - p)^{n-1} \mathrm e^{t(1-p)} + (-1)^n p^{n-1} \mathrm e^{-tp} \right) \right|_{t=0} \\ &= p (1 - p) \left( (1 - p)^{n-1} + (-1)^n p^{n-1} \right) \enspace. \end{align*}\]

Dunque possiamo concludere che per una distribuzione di Bernoulli di parametro $p$

la varianza è $p (1 - p)$, come già calcolato;
il momento centrale terzo è $\mu_3 =p(1 - p)(1 - 2p)$, così che la skewness vale

\[\frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{p(1 - p)(1 - 2p)}{(p(1 - p))^{3/2}} = \frac{1 - 2p}{\sqrt{p(1 - p)}}\]

e la distribuzione è asimmetrica verso sinistra, simmetrica e asimmetrica verso destra rispettivamente a seconda del fatto che $p$ sia minore di, uguale a oppure maggiore di $\frac{1}{2}$;
il momento centrale quarto è uguale a $\mu_4 = p(1 - p)(1 - 3p + 3p^2)$ e pertanto la curtosi sarà

\[\frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{(1 - 3p + 3p^2)}{p(1 - p)} - 3 = \frac{1 - 6p(1-p)}{p(1 - p)} = \frac{1}{p(1-p)} - 6 \enspace.\]

Questo ultimo punto merita una riflessione più approfondita: la curtosi è positiva, e dunque la distribuzione è leptocurtica, quando $p$ si trova all'interno dell'intervallo

\[\left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{12}} \right] \enspace,\]

mesocurtica quando lo stesso parametro coincide con uno degli estremi di questo intervallo e platicurtica nei casi rimanenti. Informalmente, questo risultato riflette il fatto che quando $p$ si avvicina a $0$, la distribuzione di Bernoulli tenderà a produrre sempre più raramente la specificazione $1$, che sarà dunque assimilabile a un valore fuori scala. Un comportamento analogo si ha ovviamente quando $p$ approssima $1$ (con $0$ che diventa ) Al contrario, più $p$ si avvicina a $\frac{1}{2}$ e più le due specificazioni diventano equiprobabili, così che la distribuzione tenderà sempre di meno a produrre valori fuori scala, e quindi a essere leptocurtica. In particolare, si può dimostrare che per $p = \frac{1}{2}$ si ottiene la più platicurtica delle distribuzioni. La Figura 62 illustra il grafico skewness-curtosi per la famiglia delle distribuzioni di Bernoulli.

../../_images/24eae8c64d10af568f3cfcc9772e8f1306828cb3fca2288235c3d958f3da7ce2.png — Figura 62 Il grafico skewness-curtosi per il modello di Bernoulli.#

20.1.4. Quantili della distribuzione di Bernoulli (*)#

La distribuzione di Bernoulli ha solo due specificazioni, e di conseguenza la sua funzione di ripartizione assume al massimo tre valori distinti, e ciò ha un notevole impatto sui quantili della distribuzione stessa. Consideriamo pertanto una variabile aleatoria $X \sim \mathrm B(p)$ e analizziamo innanzitutto il caso $p \in (0, 1)$, per il quale si ha

\[F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{per $x < 0$} \enspace, \\ 1 - p & \text{per $0 \leq x < 1$} \enspace, \\ 1 & \text{per $x \geq 1$} \enspace. \end{cases}\]

Dato un generico livello $q \in (1-p, 1]$ si avrà

\[x_q = \arg\min_x \{ F_X(x) \geq q \} = \arg\min_x \{ F_X(x) = 1 \} = \arg\min_x \{ x \geq 1 \} = 1 \enspace.\]

Analogamente, per ogni livello $q \in (0, 1-p]$

\[x_q = \arg\min_x \{ F_X(x) \geq q \} = \arg\min_x \{ F_X(x) = 1-p \} = \arg\min_x \{ x \geq 0 \} = 0 \enspace.\]

Riassumendo, $0$ è il quantile per tutti i livelli $q \in (0, 1-p]$ e $1$ è il quantile per tutti i livelli successivi.

Rimangono da analizzare i casi $p = 0$ e $p = 1$. Consideriamo il secondo, nel quale la variabile aleatoria degenera nella costante $1$, così che la sua funzione di ripartizione diventa

\[F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{per $x < 1$} \enspace, \\ 1 & \text{per $x \geq 1$} \enspace, \end{cases}\]

e quindi per ogni $q > 0$ si ha $x_q = \arg\min_x \{ F_X(x) \geq q \} = \arg\min_x \{ F_X(x) = 1 \} = \arg\min_x \{ x \geq 1 \} = 1$. Dunque il quantile di qualsiasi livello non nullo è uguale a $1$. Si verifica facilmente che si ottiene un risultato analogo quando $p = 0$, con l'unica differenza che ora, sempre indipendentemente dal livello $q > 0$, il quantile è uguale a $0$.

Essendo i quantili per la distribuzione di Bernoulli sempre uguali a $0$ o a $1$, non risulta affatto utile disegnare il suo diagramma a scatola, perché si otterrebbe sempre un grafico senza scatola o senza baffi. Più precisamente,

quando $0 < p \leq \frac{1}{4}$ il primo e il terzo quartile, e quindi anche la mediana, sono uguali a $0$, dunque la scatola del diagramma collassa in un segmento verticale sovrapposto all'estremo del baffo sinistro;
quando $\frac{1}{4} < p \leq \frac{1}{2}$ il primo quartile e la mediana si annullano mentre il terzo quartile è uguale a $1$, quindi la scatola occupa tutto l'intervallo $[0, 1]$ e i baffi scompaiono, e il segmento che evidenzia la mediana coincide con l'estremo sinistro della scatola;
quando $\frac{1}{2} < p \leq \frac{3}{4}$ il primo quartile è nullo mentre la mediana e il terzo quartile sono uguali a $1$, pertanto il grafico è analogo a quello descritto nel punto precedente, con l'unica differenza che la mediana è evidenziata sovrapponendola all'estremo destro della scatola;
quando $\frac{3}{4} < p \leq 1$ i primi tre quartili sono tutti uguali a $1$, quindi la scatola collassa in un segmento verticale sovrapposto all'estremo del baffo destro.

I diagrammi riportati in Figura 63 riepilogano questi quattro casi.

../../_images/4a01a39b78373f5a34b0f83d75a79241fb3aac7b96c83060853eb770e5778c17.png — Figura 63 I quattro possibili boxplot per le distribuzioni di Bernoulli.#

Nella figura non sono contemplati i casi $p = 0$ e $p = 1$, per i quali la distribuzione è degenere e le variabili aleatorie corrispondenti vanno rispettivamente a coincidere con le costanti $0$ e $1$, e dunque i primi tre quartili, così come il minimo e il massimo delle specificazioni, coincidono queste costanti. Pertanto, l'intero diagramma collassa in un segmento verticale posizionato nel primo caso nell'ascissa nulla e nel secondo in quella unitaria.

20.1.5. Implementazione della distribuzione di Bernoulli (*)#

Il modulo scipy.stats contiene una serie di classi che implementano le famiglie di distribuzioni comunemente utilizzate, e in particolare tutte quelle che descritte in questo libro. Più precisamente, ogni classe corrisponde a una famiglia di distribuzioni, e gli oggetti di una di queste classi implementano una distribuzione della famiglia per la quale sono stati specificati tutti i parametri. Su questi oggetti è possibile invocare metodi che permettono di calcolare automaticamente gli indici e le funzioni associati alla distribuzione che abbiamo studiato. Il punto di partenza per ottenere un siffatto oggetto non è il costruttore della classe, bensì una funzione fabbrica[1] specificamente progettata per creare le istanze e restituirle. Questa funzione ha un nome che ricorda quello della famiglia a cui essa fa riferimento, e per quanto riguarda le distribuzioni discrete essa accetta un argomento per ogni valore dei parametri coinvolti. Per quanto riguarda le distribuzioni di Bernoulli, questa funzione si chiama (banalmente) bernoulli, e la cella che segue mostra come ottenere le corrispondenti istanze.

import scipy.stats as st

X = st.bernoulli(0.7)

Una volta istanziata una distribuzione discreta, i metodi pmf e cdf permettono di calcolarne le funzioni di massa di probabilità e di ripartizione.

p=0.7
fig, axes = plt.subplots(1, 2, sharey=True)

B = st.bernoulli(p)
x = np.arange(-0.1, 1.1, 0.01)

axes[0].step(x, B.cdf(x))
axes[1].vlines(B.support(), 0, B.pmf(B.support()), color='k')

for ax in axes:
    ax.set_ylim(0, 1.1)
    ax.set_xticks([0, 0.5, 1])
    ax.set_xlabel(r'$x$')

axes[0].set_ylabel(r'$F_X$', rotation='horizontal')
axes[1].set_ylabel(r'$f_X$', rotation='horizontal')
fig

../../_images/dbb577f9d873bed170a79f6c071bf91a0139c189e5e7c5932b3578a9cc19f39c.png

Analogamente, i metodi mean, median, var e std permettono di calcolare valore atteso, mediana, varianza e deviazione standard della distribuzione.

print(f'Per la distribuzione di Bernoulli di parametro {p} si ha')
print(f'valore atteso {B.mean():.2f}')
print(f'mediana {B.median():.2f}')
print(f'varianza {B.var():.2f}')
print(f'deviazione standard {B.std():.2f}')

Per la distribuzione di Bernoulli di parametro 0.7 si ha
valore atteso 0.70
mediana 1.00
varianza 0.21
deviazione standard 0.46

Inoltre, il metodo ppf calcola un generico quantile della distribuzione, specificando come argomento il livello corrispondente. Per esempio, nella cella seguente viene calcolato il range interquartile di una distribuzione di Bernoulli di parametro $p = 0.7$ che, come abbiamo visto al termine del Paragrafo 20.1.4 vale $1$.

B.ppf(0.75) - B.ppf(0.25)

np.float64(1.0)

Infine, il metodo rvs permette di simulare l'estrazione di specificazioni dalla distribuzione, come nella cella seguente che ne genera $10$:

B.rvs(10)

array([1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0])

Nella Figura 64 vengono simulate $5000$ osservazioni di una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro $\frac{1}{2}$, e il diagramma a barre delle frequenze relative del campione ottenuto viene confrontato con il grafico a bastoncini della funzione di massa di probabilità. Anche in questo caso, nella versione interattiva del libro è possibile modificare il valore del parametro della distribuzione di Bernoulli e vedere come viene modificato il grafico.

import pandas as pd

p_sim = float(page['#p-sim'][0].value)
B_sim = st.bernoulli(p_sim)
m_sim = int(page['#m-sim'][0].value)

fig_sim, ax_sim = plt.subplots()

x_sim = B_sim.rvs(m_sim)
freq_sim = pd.Series(x_sim).value_counts(normalize=True)
freq_sim = freq_sim.reindex([0, 1], fill_value=0).values
bar = ax_sim.bar([0, 1], freq_sim, facecolor='lightgray', edgecolor='gray', width=.1)

vlines = ax_sim.vlines([0, 1], 0, [B_sim.pmf(0), B_sim.pmf(1)])
plot = ax_sim.plot([0, 1], [B_sim.pmf(0), B_sim.pmf(1)], 'o')[0]

ax_sim.set_ylim(0, 1.1)


@when("input", "#p-sim, #m-sim")
def bernoulli_simulation(event):

    p_sim = float(page['#p-sim'][0].value)
    page['#p-sim-value'][0].innerHTML = f'{p_sim:.1f}'
    m_sim = int(page['#m-sim'][0].value)

    B_sim = st.bernoulli(p_sim)
    x_sim = B_sim.rvs(m_sim)

    freq_sim = pd.Series(x_sim).value_counts(normalize=True)
    freq_sim = freq_sim.reindex([0, 1], fill_value=0).values

    for i, rect in enumerate(bar):
        rect.set_height(freq_sim[i])

    vlines_segments = [
        [[0, 0], [0, B_sim.pmf(0)]],
        [[1, 0], [1, B_sim.pmf(1)]]
    ]
    vlines.set_segments(vlines_segments)

    plot.set_data([0, 1], [B_sim.pmf(0), B_sim.pmf(1)])

    display(fig_sim, target='graph-2', append=False)

display(fig_sim, target='graph-2', append=False)

$ p $: 0.5

$ m $:

Figura 64 Diagramma a barre delle frequenze di un insieme di osservazioni estratte da un modello di Bernoulli, sovrapposto al diagramma a bastoncini della corrispondente funzione di massa di probabilità.#

[1]

Nel contesto della progettazione del software, si utilizza il termine fabbrica (o, più spesso, l'equivalente inglese factory) per indicare un disegno progettuale (anche qui, nel gergo comune si tende piuttosto a utilizzare il termine originale design pattern) nel quale una funzione o un metodo ha la responsabilità di creare oggetti che hanno una superclasse comune. In questo caso specifico, la superclasse si chiama rv_discrete e corrisponde a una generica distribuzione discreta. L'utilizzo di questo disegno progettuale ha, tra gli altri, lo scopo di mantenere in una parte localizzata del codice tutta la logica legata alla creazione degli oggetti, nonché quello di permettere l'estensione del numero di differenti tipi di oggetti che si possono creare senza che ciò richieda di intervenire direttamente sul codice esistente. Quello dei disegni progettuali è un argomento parecchio interessante, ma decisamente al di fuori dello scopo di questo libro. Per approfondirlo si può fare riferimento al testo storico noto nel gergo dei programmatori come Gang of Four [Gamma et al., 1995].