21.2. Variabili aleatorie continue

Di seguito formalizziamo e generalizziamo i nuovi concetti che sono emersi nel paragrafo precedente. In particolare, partiamo dalla definizione di variabile aleatoria continua.

Come indicato nella def-dominio-va, per dominio si intende qui l'insieme dei valori che una variabile aleatoria può assumere.

Definizione 50 (Variabile aleatoria continua)

Una variabile aleatoria \(X\) si dice continua quando il suo dominio \(D_X\) è un insieme continuo.

Il calcolo di probabilità di eventi collegati a una variabile aleatoria continua viene normalmente fatto utilizzando la relativa funzione di ripartizione, che è definita esattamente come nel caso di una variabile aleatoria discreta, oppure in termini della funzione di densità introdotta in modo informale nel paragrafo precedente. Per definire questo concetto in modo più preciso, notiamo innanzitutto che per \(x \in \mathbb R\) e \(\Delta x \in \mathbb R^+\), è sempre possibile considerare l'evento \(X \in (x, x + \Delta x]\) che si verifica quando \(X\) assume valori nell'intervallo che ha \(x\) come estremo sinistro e \(\Delta x\) come ampiezza. Infatti, in base alla Definizione 25 sappiamo che

\[X^{-1}((-\infty, a]) = \{ w \in \Omega \text{ tale che } X(\omega) \leq a \}\]

è sempre contenuto nell'algebra degli eventi \(\mathsf A\) che stiamo considerando, e siccome

\[X^{-1}((x, x + \Delta x]) = X^{-1}((-\infty, x + \Delta x]) \,\backslash\, X^{-1}((-\infty, x]) \,,\]

il Teorema 4 ci permette di concludere che anche \(X^{-1}((x, x + \Delta x])\) è contenuto in \(\mathsf A\). Risulta dunque ben definito il rapporto

\[\frac{\mathbb P(X \in (x, x + \Delta x])}{\Delta x} \,,\]

così come il suo limite per \(\Delta x \to 0\), che permette di definire la la densità di probabilità in \(x\).

Definizione 51 (Funzione di densità)

La funzione di densità di una variabile aleatoria continua \(X\) è una funzione \(f_X: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^+\) che associa a ogni argomento \(x \in \mathbb R\) il valore

\[f_X(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\mathbb P(X \in (x, x + \Delta x])}{\Delta x} \,,\]

che indica la densità della probabilità che \(X\) assuma valori a destra di \(x\).

Siccome

\[\begin{align*} \mathbb P(X \in (x, x + \Delta x]) &= \mathbb P(x < X \leq x + \Delta x) \\ &= F_X(x + \Delta x) - F(x) \,, \end{align*}\]

si verifica facilmente che per ogni \(x \in \mathbb R\) il valore \(f_X(x)\) equivale al limite del rapporto incrementale di \(F\) quando l'ampiezza del relativo intervallo tende a zero, e quindi la funzione di densità di una variabile aleatoria continua \(X\) coincide con la derivata prima della sua funzione di ripartizione.

Esempio 124

Le funzioni di ripartizione e di densità della variabile aleatoria continua \(X\) introdotta nel paragrafo precedente sono definite rispettivamente nel modo seguente:

\[F_X(x) = x \mathrm I_{[0, 1]}(x) + \mathrm I_{(1, +\infty)}(x)\]

e

\[f_X(x) = \mathrm I_{[0, 1]}(x) \,,\]

dunque si verifica facilmente che \(F_X' =f_X\).

La funzione di ripartizione è quindi una primitiva della funzione di densità, e il teorema fondamentale del calcolo integrale [1] implica che per ogni \(a, b \in \mathbb R\) tali che \(a < b\) si ha

\[\int_a^b f_X(x) \,\mathrm d x = F_X(b) - F_X(a) = \mathbb P(a \leq X \leq b) \,.\]

Considerando il limite per \(b \rightarrow -\infty\) si ottiene, analogamente, che \(\mathbb P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_X(x) \, \mathrm d x\). Più in generale, dato un qualsiasi insieme \(A\) esprimibile in termini di operazioni fondamentali effettuate su intervalli, varrà dunque

\[\mathrm P(X \in A) = \int_A f_X(x) \, \mathrm d x \,,\]

e quindi la probabilità \(\mathbb P(X \in A)\) è interpretabile in termini dell'area contenuta tra l'asse delle ascisse e il grafico della funzione di densità di \(X\) ristretta all'insieme \(A\), come esemplificato in Figura 87.

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import norm

plt.rcParams.update({
    'font.size': 8,
    'text.latex.preamble': r'\usepackage{amsfonts}'
})

# to ensure that pdf is a probability density
Z = norm()
norm_factor = (1 - Z.cdf(3 * 2**0.5))/ 2**0.5 + 5**0.5

def pdf(x):
    return (1.2 * np.exp(-.1*(x)**2) + np.exp(-(x-3)**2)) / norm_factor

fig, ax = plt.subplots()
x = np.linspace(-0, 5, 500)
y = pdf(x)

x_filled = np.linspace(1, 3, 500)
y_filled = pdf(x_filled)

ax.fill_between(x_filled, y_filled, alpha=0.5)
ax.plot(x, y)

ax.text(2, -.1, r'$A$', horizontalalignment='center')
ax.text(2, 0.3, '$P(X \\in A)$', horizontalalignment='center')

ax.spines.right.set_visible(False)
ax.spines.top.set_visible(False)

ax.xaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
ax.yaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
ax.tick_params(axis=u'both', which=u'both',length=0)
fig

Figura 87 Visualizzazione dell'interpretazione geometrica della funzione di densità di probabilità di una variabile aleatoria continua.

Il concetto di valore atteso di una variabile aleatoria continua o di una sua funzione si ottiene estendendo la Definizione 31.

Definizione 52 (Valore atteso di una variabile aleatoria continua)

Il valore atteso di una variabile aleatoria continua \(X\) è definito come

\[\mathbb E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \, \mathrm d x \,,\]

nel caso in cui l'integrale converga, e risulta indefinito altrimenti. Analogamente, il valore atteso di una funzione misurabile \(g\) applicata a una variabile aleatoria continua \(X\) è uguale a

\[\mathbb E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f_X(x) \, \mathrm d x\]

quando l'integrale converge ed è indefinito negli altri casi.

Tutte le definizioni introdotte per le variabili aleatorie discrete che coinvolgono il loro valore atteso o valori attesi di loro funzioni rimangono valide anche per le variabili continue. Per esempio, la varianza di una variabile aleatoria continua \(X\) sarà ancora definita come il valore atteso del suo scarto quadratico da \(\mathbb E(X)\), la deviazione standard continua a essere uguale alla radice quadrata della varianza e così via.

Esempio 125

Il valore atteso della variabile aleatoria \(X\) introdotta nel paragrafo precedente è

\[\mathbb E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, \mathrm I_{[0, 1]}(x) \, \mathrm d x = \int_0^1 x \, \mathrm d x = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1 = \frac{1}{2} \enspace,\]

e analogamente la sua varianza è uguale a

\[\begin{align*} \mathrm{Var}(X) = \mathbb E \left( \left( X - \frac{1}{2} \right)^2 \right) = \int_0^1 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \mathrm d x \\ = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} y^2 \, \mathrm d y = \left. \frac{y^3}{3} \right|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{12} \enspace. \end{align*}\]

Anche tutte le definzioni già introdotte e definite in termini di probabilità calcolate su una variabile aleatoria rimangono invariate nel caso continuo, sebbene la continuità del supporto permetta in alcuni casi di ottenere delle notevoli semplificazioni rispetto a quanto accade per le variabili aleatorie discrete. È questo il caso del calcolo dei quantili.

Definizione 53 (Quantili di una v.a. continua)

Fissato \(q \in [0, 1]\), il quantile di livello q di una variabile aleatoria continua \(X\) è il più piccolo valore \(x_q \in \mathbb R\) tale che

(21.5)\[\mathbb P(X \leq x_q) = q \enspace.\]

Come per il caso discreto, (21.5) equivale a \(F_X(x_q) = q\). La continuità della funzione di ripartizione ci permette però molto spesso di esprime il quantile come \(x_q = F_X^{-1}(q)\). In alcuni casi, la forma analitica di \(F_X\) permette di semplificare ulteriormente i conti, come nell'esempio che segue.

Esempio 126

Sempre considerando la variabile aleatoria \(X\) introdotta nel paragrafo precedente, per risolvere \(F_X(x_q) = q\) quando \(q \in (0, 1)\) è necessario considerare argomenti della funzione di ripartizione compresi strettamente tra \(0\) e \(1\). In questa regione di \(\mathbb R\) \(F_X\) è uguale alla funzione identità, dunque \(F_X(q) = q\). In altre parole il quantile di livello \(q\) di \(X\) è uguale al livello stesso, e quindi a \(q\).

I livelli non considerati si trattano facilmente a parte nel modo seguente:

• si ha \(\mathbb P(X \leq x) = 1\) per ogni \(x \geq 1\), dunque \(x_1 = 1\);

• analogamente, \(\mathbb P(X \leq x) = 0\) è sempre verificato quando \(x \leq 0\), pertanto \(x_0 = -\infty\).

---

[1]

Per la precisione, la versione del teorema fondamentale del calcolo integrale che viene considerata in questo caso è formulabile nel modo che segue: se \(f_X\) è una funzione integrabile e ammette come primitiva una funzione assolutamente continua \(F_X\) è, allora \(\int_a^b f_X(x) \,\mathrm dx = F_X(b) - F_X(a)\). Va sottolineato che, nonostante l'ipotesi di assoluta continuità sia più restrittiva di quella di continuità semplice che stiamo considerando, non ci addentreremo nel suo approfondimento per evitare di complicare la trattazione. Rimarchiamo in ogni caso che tutte le distribuzioni che considereremo soddisfano l'ipotesi di assoluta continuità, rimandando a [McDonald and Weiss, 2013] per una trattazione rigorosa dei concetti collegati.