21.3. Il modello uniforme continuo

Dati \(a, b \in \mathbb R\), con \(a < b\), definiamo \(Y = a + X (b-a)\), dove \(X\) è la variabile aleatoria introdotta nel Paragrafo 21.1. Si verifica facilmente che \(Y\) è una variabile aleatoria avente come supporto \(D_Y = [a, b]\), dunque una variabile aleatoria continua. Se si considera poi un generico \(y \in (a, b)\), si ha

\[\begin{align*} F_Y(y) &= \mathbb P(Y \leq y) = \mathbb P(a + X (b-a) \leq y) \\ &= \mathbb P \left( X \leq \frac{y - a}{b - a} \right) = \frac{y - a}{b - a} \enspace, \end{align*}\]

mentre \(\forall y < a \; \mathbb P(Y \leq y) = 0\) e \(\forall y > b \; \mathbb P(Y \leq y) = 1\), e dunque riunendo i vari casi si ottiene

\[F_Y(y) = \frac{y - a}{b - a} \; \mathrm I_{[a, b]}(y) + \mathrm I_{(b + \infty)}(y) \enspace.\]

Analogamente, per \(y \in (a, b)\)

\[f_Y(y) = F_Y'(y) = \frac{1}{b - a} \enspace.\]

D'altra parte, quando \(y < a\) o \(y > b\) ci si trova al di fuori del dominio della variabile aleatoria, pertanto \(f_Y(y) = 0\). Riassumendo, la densità di \(Y\) è tale che

\[f_Y(y) = \frac{1}{b - a} \; \mathrm I_{[a, b]}(y) \enspace.\]

Per ogni \(a < b\) abbiamo quindi definito una variabile aleatoria continua la cui densità è costante nel corrispondente intervallo \([a, b]\). Coerentemente con il Paragrafo 21.1, ci riferiremo a essa come alla distribuzione uniforme continua sull'intervallo \([a, b]\).

Definizione 54 (La distribuzione uniforme continua)

Dati \(a, b \in \mathbb R\) con \(a < b\), la distribuzione uniforme continua su \([a, b]\) è definita dalla densità

\[f(x) = \frac{1}{b - a} \; \mathrm I_{[a, b]}(x) \enspace,\]

o in modo equivalente dalla ripartizione

\[F(x) = \frac{y - a}{b - a} \; \mathrm I_{[a, b]}(x) + \mathrm I_{(b + \infty)}(x) \enspace.\]

Indicheremo il fatto che una variabile aleatoria \(X\) segue una distribuzione uniforme continua sull'intervallo \([a, b]\) utilizzando la notazione \(X \sim \mathrm U([a, b])\), con ovvie estensioni per il caso di intervalli non chiusi. Per brevità, diremo a volte che \(X\) è una variabile aleatoria uniforme continua su \([a, b]\).

Ho scelto questo esempio per sottolineare che non tutte le distribuzioni sono definite su supporti che contengono solo numeri non negativi.

La Figura 88 mostra il grafico delle funzioni di densità e di ripartizione per la distribuzione uniforme continua su \([-1, 1]\).

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def uniform_pdf(a, b, x):
    return np.where((a <= x) & (x <= b),  1 / (b - a), 0)

def uniform_cdf(a, b, x):
    return np.where((a <= x) & (x <= b), (x - a) / (b - a),
                    np.where(x < a, 0, 1))

fig, axes = plt.subplots(1, 4,
                         gridspec_kw={'width_ratios': [.15, .2, .2, .15]},
                         figsize=(10, 2))

x = np.linspace(-1.5, 1.5, 150)
y_pdf = uniform_pdf(-1, 1, x)
y_cdf = uniform_cdf(-1, 1, x)

axes[1].hlines([0, 0.5, 0], [-1.5, -1, 1], [-1, 1, 1.5])
axes[2].plot(x, y_cdf)

axes[1].set_yticks([0, 0.5, 1])
axes[2].set_yticks([])
for a in axes[1:3]:
  a.set_ylim(-0.1, 1.1)

axes[0].axis('off')
axes[3].axis('off')
fig

Figura 88 I grafici della funzione di densità (a sinistra) e della funzione di ripartizione (a destra) della distribuzione uniforme continua sull'intervallo \([-1, 1]\).

Va notato come la distribuzione derivata nel Paragrafo Paragrafo 21.1 rappresenti la distribuzione uniforme continua per il caso \(a=0\) e \(b=1\), e come in generale il procedimento seguito per ottenere la distribuzione uniforme continua non porta a un risultato diverso nel caso in cui il supporto da cui si parte sia un intervallo aperto o semiaperto. Per brevità, uniamo quindi tutte le distribuzioni uniformi continue su un intervallo nella famiglia definita di seguito.

Nonostante sia possibile definire una distribuzione uniforme su un insieme continuo che non sia un intervallo, per brevità si utilizza la dicitura uniforme continua per riferirsi alle sole distribuzioni che hanno un intervallo come supporto.

Definizione 55 (La famiglia uniforme continua)

La famiglia uniforme continua comprende tutte le definizioni uniformi continue definite su un intervallo in \(\mathbb R\), indipdententemente dalla particolare forma di questo intervallo.

21.3.1. Media e varianza

Media, varianza e deviazione standard di una generica distribuzione uniforme continua si ottengono facilmente a partire dalle definizioni corrispondenti.

Lemma 6

Dati \(a, b \in \mathbb R\) con \(a < b\), sia \(X \sim \mathrm U([a, b])\). Si ha

(21.6)\[\mathbb E(X) = \frac{a + b}{2} \quad \text{e} \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \enspace.\]

Dimostrazione.

Il valore atteso si calcola sfruttando il prodotto notevole legato alla differenza di quadrati:

\[\begin{align*} \mathbb E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x; a, b) \;\mathrm d x = \int_a^b \frac{x}{b - a} \;\mathrm d x \\ &= \frac{1}{b-a} \frac{x^2}{2} \bigg|_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \frac{a + b}{2} \enspace. \end{align*}\]

Analogamente, la formula relativa alla differenza di cubi permette di calcolare \(\mathbb E(X^2)\):

\[\begin{align*} \mathbb E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_X(x; a, b) \;\mathrm d x = \int_a^b \frac{x^2}{b - a} \;\mathrm d x \\ &= \frac{1}{b-a} \frac{x^3}{3} \bigg|_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac{b^2 + a b + a^2}{3} \enspace, \end{align*}\]

così che \(\mathrm{Var}(X) = \frac{b^2 + a b + a^2}{3} - \frac{b^2 - 2 a b + a^2}{4} = \frac{b^2 - a^2}{12}\).

Si può notare che considerando \(X \sim \mathrm U([0, 1])\) e \(Y \coloneqq a + (b - a) X \sim \mathrm U([a, b])\), come indicato all'inizio di questo paragrafo, le proprietà di valore atteso e varianza permettono di ottenere in modo alternativo gli stessi risultati partendo da quanto ottenuto nel Paragrafo 21.1 per la distribuzione uniforme continua in \([0, 1]\): precisamente, \(\mathbb E(Y) = a + (b - a) \mathbb E(X) = a + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b}{2}\) e \(\mathrm{Var}(Y) = (b - a)^2 \mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2)}{12}\). Inoltre sostituendo \(a=0\) e \(b=1\) in (21.6) si ottengono la media e la varianza della distribuzione uniforme continua in \([0, 1]\).

21.3.2. Momenti della distribuzione uniforme continua (*)

La funzione generatrice dei momenti per la distribuzione uniforme continua si calcola facilmente, vista la semplice forma analitica della relativa funzione di densità di probabilità. Infatti, data \(X \sim \mathrm U([a, b])\), se \(t \neq 0\)

(21.7)\[m_X(t) = \mathbb E \left( \mathrm e^{tX} \right) = \int_a^b \frac{\mathrm e^{tx}}{b - a} \mathrm d x = \frac{1}{t(b - a)} \int_a^b t \mathrm e^{tx} \mathrm d x = \frac{1}{t(b - a)} \int_{ta}^{tb} \mathrm e^y \mathrm d y = \frac{\mathrm e^{tb} - \mathrm e^{ta}}{t(b - a)} \enspace,\]

e \(m_X(0) = \mathbb E ( 1 ) = 1\) altrimenti.

La derivata prima di questa funzione generatrice dei momenti è

\[m'_X(t) = \frac{\mathrm e^{tb}(tb - 1) - \mathrm e^{ta}(ta - 1)}{t^2 (b - a)} \enspace,\]

I conti da fare sono un po' lunghi, in quanto è necessario utilizzare due volte la regola di de l'Hôpital e calcolare derivate di prodotti, ma assolutamente non difficili.

anche in questo caso, per \(t = 0\) la funzione non risulta definita, ma è possibile calcolare il suo limite per \(t \to 0\), ottenendo

\[\lim_{t \to 0} m'_X(t) = \frac{a + b}{2} \enspace,\]

che coincide, come deve essere, con il valore atteso della distribuzione. A partire dalla funzione generatrice dei momenti è possibile calcolare i momenti centrali, ma il procedimento risulta più complesso rispetto al diretto utilizzo della relativa definizione. Per alleggerire la notazione, poniamo \(\mu = \mathbb E(X) = \frac{a + b}{2}\), così che il momento centrale \(n\)-esimo è uguale a

\[\begin{align*} \mu_n &= \mathbb E \left( (X - \mu)^n \right) = \int_a^b \frac{1}{b - a} \left( x - \mu \right)^n \;\mathrm dx = \frac{1}{b - a} \int_{a-\mu}^{b-\mu} y^n \;\mathrm dy = \frac{1}{b - a} \left. \frac{y^{n+1}}{n+1} \right|_{a-\mu}^{b-\mu} \\ &= \frac{(b - \mu)^{n+1} - (a - \mu)^{n+1}}{(n + 1)(b - a)} \enspace. \end{align*}\]

Tenuto conto del fatto che \(a - \mu = \frac{a - b}{2}\) e analogamente \(b - \mu = \frac{b - a}{2}\), si ha dunque

\[\mu_n = \frac{\left( \frac{b - a}{2} \right)^{n+1} - \left( \frac{a - b}{2} \right)^{n+1}}{(n + 1)(b - a)} = \frac{(b - a)^{n+1} - (a - b)^{n+1}}{(n + 1) 2^{n+1}(b - a)} = \frac{(b - a)^{n+1} + (-1)^n (b - a)^{n+1}}{(n + 1) 2^{n+1}(b - a)} \enspace.\]

Pertanto, quando \(n\) è dispari si annulla sempre il numeratore della frazione, e dunque \(\mu_n = 0\), mentre per \(n\) pari si ha

\[\mu_n = \frac{2(b - a)^{n+1}}{(n + 1) 2^{n+1}(b - a)} = \frac{(b - a)^n}{(n + 1) 2^n} \enspace.\]

Da questo risultato si ottiene che, per una generica distribuzione uniforme continua tra \(a\) e \(b\)

• la varianza è uguale a \(\mu_2 = \frac{(b - a)^2}{3 \cdot 4}\), come già abbiamo ricavato;

• annullandosi il terzo momento centrale, la skewness vale zero, cosa peraltro facilmente evincibile osservando che la densità di probabilità è simmetrica rispetto al valore atteso;

• la curtosi è uguale a

  \[\frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{(b - a)^4}{5 \cdot 16} \frac{144}{(b - a)^4} - 3 = \frac{9}{5} - 3 = - \frac{6}{5} \enspace,\]

  il che significa che questa distribuzione è platicurtica, nel senso che è più piatta rispetto a una distribuzione normale che ha lo stesso valore atteso e la stessa varianza, come illustrato nella Figura 89.

▶ Mostra codice

from scipy import stats as st

a = -3
b = 3

fig, (ax_l, ax, ax_r) = plt.subplots(1, 3,
                              gridspec_kw={'width_ratios': [.15, .2, .15]},
                              figsize=(10, 2))

ax_l.axis('off')
ax_r.axis('off')

x = np.linspace(-10, 10, 200)
Z = st.norm((a+b)/2, (b-a)/(12)**0.5)
y_norm = Z.pdf(x)

ax.plot(x, y_norm)

ax.plot([-10, a], [0, 0], c='k')
ax.plot([a, b], [1/(b-a), 1/(b-a)], c='k')
ax.plot([b, 10], [0, 0], c='k')
ax.set_ylim(0, 0.3)
fig

Figura 89 Grafici delle funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni, rispettivamente uniforme continua tra -3 e 3 (spezzata nera) e normale avente lo stesso valore atteso e la stessa varianza di quella uniforme (curva blu). Il secondo grafico evidenzia un picco più alto rispetto al primo, essendo l'uniforme continua una distribuzione platicurtica.

21.3.3. Quantili della distribuzione uniforme continua (*)

Per non complicare la trattazione, ho fatto qui riferimento a intervalli chiusi, ma il ragionamento descritto vale per qualsiasi tipo di intervalli.

Tenuto conto del fatto che la densità di una distribuzione uniforme continua è costante su un intervallo \(I = [a, b]\) e nulla altrove, intuitivamente il relativo quantile di livello \(q \in [0, 1]\) sarà il punto di \(I\) caratterizzato dalle seguenti proprietà:

• la sua distanza da \(a\) cresce linearmente rispetto a \(q\),

• la sua distanza da \(b\) cresce linearmente rispetto a \(1-q\).

Più formalmente, \(x_q\) sarà uguale alla combinazione lineare convessa di \(a\) e \(b\) che ha \(q\) come coefficiente:

\[x_q = a + q (b - a) \enspace,\]

come dimostrato qui di seguito.

Lemma 7

Dati \(a, b \in \mathbb R\) con \(a < b\), una variabile aleatoria \(X \sim \mathrm U([a, b])\) e \(q \in [0, 1]\), il quantile di livello \(q\) di \(X\) è \(x_q = a + q (b - a)\).

Dimostrazione.

La tesi è banale quando \(q=0\) perché in questo caso il quantile è la più piccola specificazione di \(X\) e dunque \(x_0 = a = a + 0 (b - a)\). Un ragionamento analogo vale nel caso \(q =1 \). Concentriamoci dunque sul caso \(q \in (0, 1)\) e consideraimo l'equazione \(F_X(x_q) = q\), che definisce il quantile cercato e che equivale a

\[\frac{x - a}{b - a} = q \enspace.\]

La sua soluzione è \(x_q = a + q (b - a)\).

Da questo lemma si ricava immediatamente che, per una distribuzione uniforme continua tra \(a\) e \(b\),

• la mediana coincide con la media, cosa peraltro implicata dal fatto che la densità di probabilità è simmetrica rispetto al valore atteso;

• il primo e il terzo quartile sono rispettivamente \(\frac{3a + b}{4}\) e \(\frac{a + 3b}{4}\);

• il range interquartile vale \(\frac{a+b}{2}\).

La Figura 90 evidenzia che, come era pienamente ragionevole aspettarsi tenendo conto della forma della funzione di densità di probabilità, il diagramma a scatola per questa distribuzione, è perfettamente simmetrico.

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fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(6, 0.3))

for ax in axes:
  ax.axis('off')

ax = axes[1]

a = -3
b = 5

first_quartile = (3*a + b) / 4
median = (a + b) / 2
third_quartile = (a + 3*b) / 4

lw = 1
height = 0.2

ax.plot([median, median], [-height, height], c='k', linewidth=1.5)

ax.plot([a, a], [-.1, .1], c='k', linewidth=lw)
ax.plot([a, first_quartile], [0, 0], c='k', linewidth=lw)

ax.plot([first_quartile, first_quartile], [-height, height],
         c='k', linewidth=lw)

ax.plot([third_quartile, third_quartile], [-height, height],
         c='k', linewidth=lw)

ax.plot([first_quartile, third_quartile], [height, height],
         c='k', linewidth=lw)
ax.plot([first_quartile, third_quartile], [-height, -height],
         c='k', linewidth=lw)

ax.plot([third_quartile, b], [0, 0], c='k', linewidth=lw)
ax.plot([b, b], [-.1, .1], c='k', linewidth=lw)

ax.text(a, -0.5, '$a$', ha='center')
ax.text(b, -0.5, '$b$', ha='center')
ax.text(median, -0.6, r'$\frac{a+b}{2}$', ha='center')

ax.text(first_quartile, 0.4, r'$\frac{3a + b}{4}$', ha='center')
ax.text(third_quartile, 0.4, r'$\frac{a + 3b}{4}$', ha='center')

fig

Figura 90 Diagramma a scatola per la distribuzione uniforme continua tra \(a\) e \(b\).

21.3.4. Implementazione del modello uniforme continuo

Per quanto rigaurda le distribuzioni discrete, scipy.stats mette a disposizione delle funzioni con un'interfaccia naturale i cui parametri sono direttamente legati ai parametri della distribuzione stessa. Anche nel caso continuo, ogni distribuzione è associata a una funzione che restituisce le istanze delle corrispondenti classi. Però, indipendentemente dalla distribuzione che si vuole generare, queste funzioni si invocano specifcando sempre i parametri loc e scale, legati rispettivamente alla centralità e alla dispersione della distribuzione generata. La relazione precisa tra i valori specificati per questi argomenti e il risultato ottenuto cambia di caso in caso. Per quanto riguarda una generica distribuzione uniforme continua \(\mathrm U([a, b])\), il valore di loc coincide con \(a\), mentre quello di scale equivale a \(b - a\). La Figura 91 mostra l'istogramma che si ottiene a partire da un campione di valori pseudo-casuali generati da questa implementazione, sovrapposto al grafico della corrisondente funzione di densità di probabilità.

▶ Mostra codice

fig, (ax_l, ax, ax_r) = plt.subplots(1, 3,
                              gridspec_kw={'width_ratios': [.15, .2, .15]},
                              figsize=(10, 2))

ax_l.axis('off')
ax_r.axis('off')

a = -4
b = 5

U = st.uniform(a, b-a)

m = 5000
x = U.rvs(m)

ax.hist(x, bins=10, density=True, color='lightgray', edgecolor='gray')

ax.plot([-10, a], [0, 0], c='C0', zorder=3)
ax.plot([a, b], [1/(b-a), 1/(b-a)], c='C0')
ax.plot([b, 10], [0, 0], c='C0', zorder=3)
ax.set_ylim(-.001, .2)
ax.set_xticks([-10, -7, -4, -1, 2, 5, 8])
ax.set_yticks([.05, .1, .15, .2])
fig

Figura 91 Le barre mostrano l'istogramma ottenuto a partire da un insieme di valori pseudo-casuali generati a partire da una distribuzione uniforme tra \(-4\) e \(5\), mentre le spezzate corrispondono al grafico della funzione di densità di probabilità della medesima distribuzione.