19.8. Disuguaglianze fondamentali#

19.8.1. La disuguaglianza di Markov#

Teorema 33 (Disuguaglianza di Markov)

Sia \(X\) una variabile aleatoria che può assumere solo specificazioni non negative e avente valore atteso finito \(\mathbb E(X)\). Per ogni valore reale \(a \geq 0\) si ha

\[\mathbb P(X \leq a) \geq \frac{\mathbb E(X)}{a} \enspace.\]

Dimostrazione.

Ipotizziamo che \(X\) sia una variabile aleataoria continua, e indichiamo con \(f\) la sua funzione di densità di probabilità. Non avendo \(X\) specificazioni positive, è possibile esprimere il suo valore atteso come segue:

\[\mathbb E(X) = \int_0^a x f(x) \mathrm d x + \int_a^{+\infty} x f(x) \mathrm d x \enspace.\]

Concentriamoci sui due integrali in questa formula: possiamo osservare che

all'interno del primo possiamo sempre assumere \(x \leq a\), e
il secondo integrale deve avere un valore non negativo, perché la funzione integranda è uguale al prodotto di due fattori non negativi (\(x\) è una specificazione di una variabile aleatoria che non assume mai valori negativi e \(f\) è una funzione di densità di probabilità).

Pertanto

\[\mathbb E(X) \leq \int_0^a x f(x) \mathrm d x \leq a \int_0^a f(x) \mathrm d x = a \mathbb P(X \leq a) \enspace.\]

Dividendo membro a membro per \(a\), non cambia il verso delle disuguaglianze e pertanto si ottiene la tesi.

19.8.2. Disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv#

La disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv [1]

Teorema 34 (disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv)

Sia \(X\) una variabile aleatoria. Se il valore atteso \(\mu\) e la varianza \(\sigma^2\) di \(X\) esistono e sono entrambi finiti, per ogni numero reale \(\epsilon \geq 0\)

\[\mathbb P(| X - \mu | \leq \epsilon) \geq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \enspace.\]

Dimostrazione.

Definiamo \(Y \triangleq (X - \mu)^2\), e notiamo che per costruzione \(Y\) non assume mai specificazioni negative e il suo valore atteso è \(\mathbb E(Y) = \sigma^2\), che per ipotesi esiste ed è finito. Essendo \(\epsilon \geq 0\), gli eventi \(| X - \mu | \leq \epsilon\) e \(Y \leq \epsilon^2\) si equivalgono, pertanto

\[\mathbb P(| X - \mu | \leq \epsilon) = \mathbb P(Y \leq \epsilon^2) \geq \frac{\mathbb E(Y)}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \enspace,\]

dove la minorazione è legata all'applicazione della disuguaglianza di Markov alla variabile aleatoria \(Y\) (Notate che le ipotesi del Teorema 33 sono soddisfatte, come evidenziato dalle osservazioni fatte all'inizio della dimostrazione).