18.2. Assiomi di Kolmogorov

Nel paragrafo precedente ho introdotto le algebre degli eventi, anticipando che esse costituiscono il dominio di una funzione che associa a ciascun evento un valore numerico, rappresentante la sua probabilità. L'approccio didattico comunemente adottato per definire questa funzione opera in modo indiretto. Invece di procedere in modo operativo, rifacendosi a una delle possibili interpretazioni del concetto di probabilità (vedi il Capitolo 18), si preferisce partire da una domanda più generale: quali proprietà vanno rispettate quando si associa un numero a un evento, se tale valore deve essere interpretato, in modo coerente e non ambiguo, come una probabilità? La risposta a questa domanda è fornita dal sistema assiomatico proposto da Andrej Nikolaevič Kolmogorov[1] nel 1933, che costituisce ancora oggi il fondamento della teoria della probabilità moderna.

Figura 20 Ritratto di Andrej Nikolaevič Kolmogorov (Fotografia di Konrad Jacobs, © Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (MFO). Licenza CC BY-SA 2.0 DE. Fonte: Wikimedia Commons).

Definizione 20 (Assiomi di Kolmogorov)

Dato uno spazio degli esiti \(\Omega\) su cui è definita un'algebra \(\mathsf A\), una funzione di probabilità è qualsiasi funzione \(\mathbb P: \mathsf A \rightarrow \mathbb R\) che soddisfa i seguenti assiomi di Kolmogorov:

1. la probabilità associata a un evento è sempre non negativa:

   (18.1)\[\forall E \in \mathsf A \quad \mathbb P(E) \geq 0,\]

2. la probabilità associata allo spazio degli esiti è uguale a \(1\):

   (18.2)\[\mathbb P(\Omega) = 1,\]

3. la probabilità associata all'unione di due eventi disgiunti è uguale alla somma delle probabilità associate ai due eventi:

   (18.3)\[\forall E, F \in \mathsf A \quad E \cap F = \varnothing \rightarrow \mathbb P(E \cup F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F).\]

Nel caso in cui \(\mathsf A\) sia una sigma-algebra, quest'ultimo assioma si estende a ogni successione infinita di eventi:

(18.4)\[\forall E_1, E_2, \ldots \in \mathsf A \quad (\forall i \neq j \; E_i \cap E_j = \varnothing) \rightarrow \mathbb P \left( \bigcup_{i=1}^{+\infty} E_i \right) = \sum_{i=1}^{+\infty} \mathbb P (E_i).\]

La terna \((\Omega, \mathsf A, \mathbb P)\) viene detta spazio di probabilità.

_

La funzione che associa a un evento \(A\) la sua probabilità non segue una notazione del tutto uniforme. Nei testi moderni le scelte più comuni sono \(P(A)\), \(\mathrm P(A)\), \(\operatorname{Pr}(A)\), \(\mathbf P(A)\) e \(\mathbb P(A)\), e anche le parentesi che delimitano gli eventi possono essere tonde, quadre o graffe. Optare per una di queste possibilità dipende da tanti fattori, e in particolare dal gusto personale di chi scrive e dagli strumenti tipografici a disposizione[2]. All'inizio del novecento, Andrej Andreevič Markov indicava con \((A)\) la probabilità di \(A\), e l'utilizzo di un simbolo dedicato si fa anch'esso risalire ad Andrej Nikolaevič Kolmogorov, che nel 1933 adottò proprio \(\mathbf P(A)\) nell'opera che introduce gli assiomi di probabilità, e la notazione si diffuse anche grazie a influenti manuali come [Feller, 1950], che inizialmente preferì \(\operatorname{Pr}\{A\}\) ma successivamente utilizzò \(\mathbf P\{A\}\).

Esempio 28 (Esempio: l'universo dei supereroi)

Consideriamo un esperimento casuale in cui si estrae a caso un supereroe dal database dei supereroi usato nel libro, considerando solo i personaggi per i quali è noto l'allineamento. Lo spazio degli esiti \(\Omega\) è l'insieme di tutti questi supereroi. Definiamo gli eventi \(G\), \(b\) e \(N\) che si verificano rispettivamente quando l'allineamento del supereroe osservato è buono, cattivo e neutrale. Consideriamo poi l'algebra \(\mathsf A\) indotta su \(\Omega\) da questi tre eventi, e su questa definiamo inizialmente \(\mathbb P\) come la funzione che associa a ogni evento la sua probabilità intesa in senso frequentistico, cioè espressa dal rapporto tra il numero di casi favorevoli nel dataset e il numero totale di casi.

import pandas as pd

heroes = pd.read_csv('data/heroes.csv')

heroes_aligned = heroes[heroes['alignment'].isin(['Good', 'Bad', 'Neutral'])]
n = len(heroes_aligned)

good = len(heroes_aligned[heroes_aligned['alignment'] == 'Good'])
bad = len(heroes_aligned[heroes_aligned['alignment'] == 'Bad'])
neutral = len(heroes_aligned[heroes_aligned['alignment'] == 'Neutral'])

print(f'Numero totale di supereroi con allineamento noto: {n}')
print(f'- Eroi (Good): {good} → P(G) = {good}/{n} = {good/n:.2f}')
print(f'- Cattivi (Bad): {bad} → P(B) = {bad}/{n} = {bad/n:.2f}')
print(f'- Neutrali (Neutral): {neutral} → P(N) = {neutral}/{n} = {neutral/n:.2f}')
print(f'\nVerifica: P(G) + P(B) + P(N) = {(good+bad+neutral)/n:.2f}')

Numero totale di supereroi con allineamento noto: 12504
- Eroi (Good): 6452 → P(G) = 6452/12504 = 0.52
- Cattivi (Bad): 4173 → P(B) = 4173/12504 = 0.33
- Neutrali (Neutral): 1879 → P(N) = 1879/12504 = 0.15

Verifica: P(G) + P(B) + P(N) = 1.00

Se consideriamo l'unione di due eventi in \(\mathsf A\), per esempio \(G \cup B\), è naturale estendere \(\mathbb P\) in modo che l'interpretazione frequentista valga anche per questo nuovo evento, così che \(\mathbb P(G \cup B)\) sia uguale alla frequenza con cui nel dataset considerato si trovi un supereroe con allineamento morale buono o cattivo. Il fatto che questi due eventi siano disgiunti (ogni supereroe ha un unico allineamento morale), permette di scrivere \(\mathbb P(G \cup B) = \mathbb P(G) + \mathbb P(B)\). Procedendo in questo modo, è possibile estendere \(\mathbb P\) a tutti gli eventi dell'algebra. Questa costruzione garantisce la validità degli assiomi di Kolmogorov:

• tutti i valori di \(\mathbb P\) sono maggiori o uguali di zero, essendo delle frequenze relative;

• \(\mathbb P(\Omega) = \mathbb P(G) + \mathbb P(B) + \mathbb P(N) = 1\) per definizione;

• sempre per definizione, la probabilità dell'unione di eventi disgiunti in \(\mathsf A\) è uguale alla somma della probabilità dei singoli eventi.

Probabilità e frequenza

L'esempio precedente mette in luce una relazione importante tra probabilità e frequenza relativa: quando un fenomeno viene osservato ripetutamente, la probabilità di un evento può essere letta come il valore verso cui tende la sua frequenza empirica. A partire da questo capitolo, userò questa idea in forma intuitiva, per arrivare a formalizzarla nel chap-grandi-numeri introducendo la legge dei grandi numeri.

Questa corrispondenza è anche il primo ponte tra statistica descrittiva e calcolo delle probabilità: da un lato le frequenze osservate suggeriscono come modellare probabilisticamente un fenomeno, dall'altro i modelli probabilistici aiutano a interpretare e organizzare i dati. È una connessione che riemergerà più volte nel seguito, ogni volta da un punto di vista diverso.

Grazie agli assiomi di Kolmogorov, \(\mathbb P\) viene caratterizzata esclusivamente attraverso le proprietà formali che essa deve rispettare: qualunque funzione che soddisfi tali proprietà è una funzione di probabilità, indipendentemente dal significato che viene dato al concetto stesso di probabilità, garantendo al contempo che agli eventi vengano assegnate delle probabilità secondo uno schema coerente.

Probabilità e percentuali

Gli assiomi di Kolmogorov richiedono che i valori di probabilità siano numeri reali compresi tra \(0\) e \(1\). Nella pratica, tuttavia — e soprattutto nel linguaggio comune — è molto frequente esprimere le probabilità in termini di percentuali, su una scala da \(0\) a \(100\). Una percentuale si interpreta sempre in modo relativo: è definita rispetto a una popolazione di riferimento e, quando esprime una probabilità, fa implcitamente riferimento all'esperimento casuale che consiste nell'estrarre a caso un individuo da tale popolazione. Dire, ad esempio, che un evento ha probabilità del \(30\%\) significa affermare che, se si dovessero osservare \(100\) individui, mediamente \(30\) di questi verificherebbero l'evento. Equivalentemente, eseguendo un numero elevato di osservazioni, la frequenza relativa con cui si verifica l'evento si avvicina a \(0.3\), così che questo modo di ragionare rispecchia l'interpretazione frequentista del concetto di probabilità. In ogni caso, al di là dell'interpretazione adottata, ciò che conta è che la probabilità rimanga all'interno di un intervallo prefissato: usare la scala \([0,1]\) o la scala \([0,100]\) non ne altera il significato matematico, ma soltanto la rappresentazione numerica.

A partire dagli assiomi di Kolmogorov è possibile derivare, per via puramente deduttiva, un insieme di teoremi di carattere generale, la cui validità è indipendente dall'interpretazione che si attribuisce al concetto di probabilità.

Teorema 6 (Probabilità dell'evento complementare)

\[\forall E \subseteq \Omega \quad \mathbb P(\overline E) = 1 - \mathbb P(E).\]

Dimostrazione.

Dato un generico \(E \subseteq \Omega\), si ha \(E \cup \overline E = \Omega\) e \(E \cap \overline E = \varnothing\), pertanto

\[1 = \mathbb P(\Omega) = \mathbb P(E \cup \overline E) = \mathbb P(E) + \mathbb P(\overline E),\]

dove il primo e l'ultimo passaggio sono basati sul secondo e terzo assioma di Kolmogorov, rispettivamente. La tesi si ottiene ricavando \(\mathbb P(\overline E)\).

Esempio 29 (Esempio: supereroi non Marvel)

Proseguendo l’Esempio 28, consideriamo l'evento \(M\) che corrisponde all'osservazione di un supereroe Marvel e calcoliamone la probabilità.

n = len(heroes)
marvel = len(heroes[heroes['creator'] == 'Marvel Comics'])

print(f'Numero di supereroi Marvel: {marvel}')
print(f'Numero totale di supereroi: {n}')
print(f'P(M) = {marvel}/{n} = {marvel / n:.2f}')

Numero di supereroi Marvel: 3205
Numero totale di supereroi: 17355
P(M) = 3205/17355 = 0.18

L'evento complementare \(\overline M\) rappresenta l'osservazione di un supereroe non Marvel — quindi appartenente a un altro universo, come quello DC Comics, o è un personaggio indipendente. Per il teorema sulla probabilità dell'evento complementare, si ha

\[\mathbb P(\overline M) = 1 - \mathbb P(M) = 1 - 0.18 = 0.82 \enspace.\]

Questo significa che c'è l’\(82\%\) di probabilità di estrarre un supereroe che non appartenga all'universo Marvel.

Corollario 2 (Probabilità dell'evento impossibile)

\[\mathbb P(\varnothing) = 0\]

Dimostrazione.

La tesi si ottiene dal Teorema 6, quando \(E = \Omega\).

Teorema 7 (Probabilità dell'unione di eventi)

\[\forall E, F \subseteq \Omega \quad \mathbb P(E \cup F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F) - \mathbb P(E \cap F).\]

Dimostrazione.

Per la distributività dell'intersezione rispetto all'unione si ha

\[(E \cap \overline F) \cup (E \cap F) = E \cap (\overline F \cup F) = E \cap \Omega = E,\]

inoltre sfruttando le proprietà di associatività, commutatività e idempotenza si ottiene

\[(E \cap \overline F) \cap (E \cap F) = (E \cap E) \cap (F \cap \overline F) = E \cap \varnothing = \varnothing.\]

Per il terzo assioma di Kolmogorov, si ha dunque \(\mathbb P(E) = \mathbb P(E \cap \overline F) + \mathbb P (E \cap F)\), e in modo analogo si dimostra che \(\mathbb P(F) = \mathbb P(\overline E \cap F) + \mathbb P (E \cap F)\), che equivale a \(\mathbb P(\overline E \cap F) = \mathbb P(F) - \mathbb P (E \cap F)\) (vedi Figura 21).

Si verifica facilmente che \(E \cap \overline F\), \(E \cap F\) e \(\overline E \cap F\) sono a due a due disgiunti e che la loro unione coincide con \(E \cup F\), pertanto per l'estensione del terzo assioma di Kolmogorov all'unione di tre insiemi disgiunti si ha

\[\mathbb P(E \cup F) = \underbrace{\mathbb P(E \cap \overline F) + \mathbb P(E \cap F)}_{\mathbb P(E)} + \underbrace{\mathbb P(\overline E \cap F)}_{\mathbb P(F) - \mathbb P(E \cap F)}\]

da cui segue la tesi.

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches
from matplotlib_venn import venn2_circles, venn2

venn_set_edge = '#333333'
background_color = '#eaf3f5'
font_size = 7



# Three distinct blue shades
color_E_only    = '#AED6F1'  # light blue  → E \ F  (region '10')
color_intersect = '#2E86C1'  # medium blue → E ∩ F  (region '11')
color_F_only    = '#1A5276'  # dark blue   → F \ E  (region '01')

fig, ax = plt.subplots()

# Set both the axes and figure background
ax.set_facecolor(background_color)
fig.patch.set_facecolor(background_color)

# Rectangle for the universal set Ω
r = patches.Rectangle((-0.75, -0.6), 1.5, 1.1,
                       edgecolor=venn_set_edge,
                       facecolor=background_color, alpha=1, lw=0.7)
ax.add_patch(r)

v = venn2(subsets=(3, 3, 1), set_labels=(r'$E$', r'$F$'), ax=ax)
c = venn2_circles(subsets=(3, 3, 1), ax=ax)

for l in v.set_labels:
    l.set_fontsize(font_size)

for contour in c:
    contour.set_lw(0.7)
    contour.set_edgecolor(venn_set_edge)

# Color each region with a distinct blue shade
v.get_patch_by_id('10').set_color(color_E_only)     # E \ F
v.get_patch_by_id('10').set_alpha(1)

v.get_patch_by_id('11').set_color(color_intersect)  # E ∩ F
v.get_patch_by_id('11').set_alpha(1)

v.get_patch_by_id('01').set_color(color_F_only)     # F \ E
v.get_patch_by_id('01').set_alpha(1)

v.get_label_by_id('10').set_text(r'$E \cap \overline{F}$')
v.get_label_by_id('10').set_fontsize(font_size)

v.get_label_by_id('11').set_text(r'$E \cap F$')
v.get_label_by_id('11').set_fontsize(font_size)

v.get_label_by_id('01').set_text(r'$\overline{E} \cap F$')
v.get_label_by_id('01').set_fontsize(font_size)

ymin, ymax = ax.get_ylim()
ax.set_ylim(ymin - 0.1, ymax)
ax.text(0.55, 0.4, r'$\Omega$', fontsize=font_size)

plt.show()

Figura 21 Il diagramma di Venn che illustra la scomposizione di \(E \cup F\) nell'unione disgiunta di \(E \cap \overline F\), \(E \cap F\) ed \(\overline E \cap F\).

Esempio 30 (Esempio: supereroi con superforza o superintelligenza)

Nel nostro database di supereroi, definiamo due eventi \(F\) e \(I\), che si verificano rispettivamente quando viene osservato un supereroe con un indice di forza maggiore o uguale a \(80\) (un supereroe «forte») e con un livello di intelligenza uguale a 'High' (un supereroe «intelligente»). Come nei due esempi precedenti, calcoliamo la probabilità di \(F\), \(I\) e \(F \cap I\) usando l'interpretazione frequentista.

strong_filter = (heroes['strength'] >= 80)
strong = len(heroes[strong_filter])

intelligent_filter = (heroes['intelligence'] == 'High')
intelligent = len(heroes[intelligent_filter])
intersection_filter = strong_filter & intelligent_filter

both = len(heroes[intersection_filter])

print(f'Numero di supereroi forti: {strong}')
print(f'P(F) = {strong / n :.2f}')

print(f'Numero di supereroi intelligenti: {intelligent}')
print(f'P(I) = {intelligent / n :.2f}')

print(f"Numero di supereroi nell'intersezione: {both}")
print(f'P(F ∩ I) = {both / n :.2f}')

Numero di supereroi forti: 5400
P(F) = 0.31
Numero di supereroi intelligenti: 4661
P(I) = 0.27
Numero di supereroi nell'intersezione: 3183
P(F ∩ I) = 0.18

Vi sono dunque più di tremila supereroi che sono sia forti che intelligenti, come esemplificato dal codice seguente.

heroes[intersection_filter].sample(5)['name'].tolist()

['Alternate Michael',
 'Hawk-Mite',
 'Demogorge (The God Eater)',
 'The Hard-To-Destroy Reptile',
 'Odin']

Per calcolare la probabilità che un supereroe estratto a caso sia forte oppure intelligente, possiamo applicare il Teorema 7, ottenendo

\[\mathbb P(F \cup I) = \mathbb P(F) + \mathbb P(I) - \mathbb P(F \cap I) = 0.31 + 0.27 - 0.18 = 0.4 \enspace.\]

Se non avessimo sottratto \(\mathbb P(F \cap I)\), avremmo contato due volte i supereroi che possiedono entrambe le caratteristiche.

Quando i due eventi sono disgiunti, la tesi del Teorema 7 coincide con il terzo assioma di Kolmogorov. Il teorema seguente estende il calcolo della probabilità dell'unione a un numero arbitrario di eventi, enunciando il cosiddetto principio di inclusione-esclusione.

Teorema 8 (Principio di inclusione-esclusione)

Dati tre eventi \(E, F, G \in \mathsf A\), si ha

\[\mathbb P(E \cup F \cup G) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F) + \mathbb P(G) - \mathbb P(E \cap F) - \mathbb P(E \cap G) - \mathbb P(F \cap G) + \mathbb P(E \cap F \cap G) \enspace.\]

Più in generale, dati \(n\) eventi \(E_1, \dots, E_n\),

\[\mathbb P(E_1 \cup \dots \cup E_n) = \sum_{i=1}^n \mathbb P(E_i) - \sum_{i < j} \mathbb P(E_i \cap E_j) \\ + \sum_{i < j < k} \mathbb P(E_i \cap E_j \cap E_k) + \dots + (-1)^{n+1} \mathbb P(E_1 \cap \dots \cap E_n) \enspace,\]

o, in forma più compatta,

\[\mathbb P \left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right) = \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\left(\bigcap_{i \in S} E_i\right) \enspace.\]

Dimostrazione.

La prima formula è un caso particolare della seconda, che si può dimostrare usando il procedimento di induzione matematica (vedi Esercizio 115).

Teorema 9

\[\forall E, F \subseteq \Omega \quad E \subseteq F \rightarrow \mathbb P(E) \leq \mathbb P(F).\]

Dimostrazione.

Siccome \(F = E \cup (F \cap \overline E)\) ed \(E\) e \(F \cap \overline E\) sono disgiunti, come evidenziato nella Figura 22, per il terzo assioma di Kolmogorov si ha \(\mathbb P(F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F \cap \overline E) \geq \mathbb P(E)\).

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches

venn_set_edge = '#333333'
background_color = '#eaf3f5'
font_size = 7

# Two distinct blue shades
color_E = '#2E86C1'          # medium blue → E
color_F_minus_E = '#AED6F1'  # light blue  → F \ E

fig, ax = plt.subplots()

# Set both the axes and figure background
ax.set_facecolor(background_color)
fig.patch.set_facecolor(background_color)

# Rectangle for the universal set Ω
r = patches.Rectangle((-0.75, -0.6), 1.5, 1.1,
                       edgecolor=venn_set_edge,
                       facecolor=background_color, alpha=1, lw=0.7)
ax.add_patch(r)

# Outer circle F (larger)
circle_F = patches.Circle((0, 0), 0.4, edgecolor=venn_set_edge,
                            facecolor=color_F_minus_E, lw=0.7)
ax.add_patch(circle_F)

# Inner circle E (smaller, subset of F)
circle_E = patches.Circle((-0.1, 0), 0.2, edgecolor=venn_set_edge,
                           facecolor=color_E, lw=0.7)
ax.add_patch(circle_E)

# Labels
ax.text(-0.1, 0, r'$E$', fontsize=font_size, ha='center', va='center')
ax.text(0.2, 0.15, r'$F\, \cap \overline{E}$', fontsize=font_size,
        ha='center', va='center')
ax.text(-0.35, 0.35, r'$F$', fontsize=font_size, ha='center', va='center')
ax.text(0.55, 0.4, r'$\Omega$', fontsize=font_size)

ax.set_xlim(-0.8, 0.8)
ax.set_ylim(-0.65, 0.55)
ax.set_aspect('equal')
ax.axis('off')

plt.show()

Figura 22 Il diagramma di Venn che illustra la scomposizione \(F = E \cup (F \cap \overline E)\) quando \(E \subseteq F\): l'evento \(F\) è l'unione disgiunta degli eventi \(E\) ed \(F \cap \overline E\).

Esempio 31 (Esempio: X-Men e supereroi Marvel)

Continuando gli esempi precedenti, consideriamo gli eventi:

• \(M\): «il supereroe appartiene all'universo Marvel»,

• \(X\): «il supereroe è un X-Man».

Poiché tutti gli X-Men sono personaggi Marvel, abbiamo \(X \subseteq M\). Calcoliamo le probabilità usando il dataset: per identificare gli X-Men, consideriamo i supereroi Marvel il cui nome corrisponde a uno dei membri classici del gruppo.[3]

xmen_names = ['Wolverine', 'Cyclops', 'Storm', 'Beast', 'Rogue', 'Gambit', 
              'Nightcrawler', 'Colossus', 'Iceman', 'Angel', 'Jean Grey', 
              'Professor X', 'Magneto', 'Mystique', 'Psylocke', 'Jubilee',
              'Shadowcat', 'Kitty Pryde', 'Cable', 'Bishop', 'Havok',
              'Polaris', 'Emma Frost', 'X-23', 'Banshee', 'Phoenix',
              'Marvel Girl', 'Apocalypse', 'Mister Sinister']

marvel_filter = (heroes['creator'] == 'Marvel Comics')
xmen_filter = marvel_filter & heroes['name'].isin(xmen_names)

marvel_count = marvel_filter.sum()
xmen_count = xmen_filter.sum()

print(f'Supereroi Marvel: {marvel_count}')
print(f'X-Men: {xmen_count}')
print(f'Numero totale di supereroi: {n}')
print()
print(f'P(M) = {marvel_count}/{n} = {marvel_count/n:.2f}')
print(f'P(X) = {xmen_count}/{n} = {xmen_count/n:.2f}')
print()
print(f'Verifica X ⊆ M: P(X) ≤ P(M)? {xmen_count/n:.2f} ≤ {marvel_count/n:.2f} → {xmen_count <= marvel_count}')

Supereroi Marvel: 3205
X-Men: 125
Numero totale di supereroi: 17355

P(M) = 3205/17355 = 0.18
P(X) = 125/17355 = 0.01

Verifica X ⊆ M: P(X) ≤ P(M)? 0.01 ≤ 0.18 → True

Per il Teorema 9, \(\mathbb P(X) \leq \mathbb P(M)\), e questo è confermato dai dati. Intuitivamente, la probabilità di estrarre un X-Man non può superare quella di estrarre un supereroe Marvel, perché ogni X-Man è un supereroe Marvel.

18.2.1. Vero o falso?

Analizzate ciascuna delle seguenti affermazioni, che riguardano gli assiomi di Kolmogorov e i concetti da essi derivati, e dite se è vera o falsa, motivando il vostro ragionamento. Cliccate su di essa per visualizzare la risposta corretta.

La probabilità di qualsiasi evento è un numero compreso tra \(0\) e \(1\).

Vera. Il primo assioma di Kolmogorov garantisce \(\mathbb P(E) \geq 0\). Per il Teorema 6, \(\mathbb P(E) = 1 - \mathbb P(\overline{E}) \leq 1\), dato che \(\mathbb P(\overline{E}) \geq 0\). Combinando le due disuguaglianze si ottiene \(0 \leq \mathbb P(E) \leq 1\).

Per ogni coppia di eventi \(E\) ed \(F\), si ha \(\mathbb P(E \cup F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F)\).

Falsa. Questa uguaglianza vale solo quando \(E\) e \(F\) sono mutuamente esclusivi (terzo assioma di Kolmogorov). In generale, per il Teorema 7,

\[\mathbb P(E \cup F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F) - \mathbb P(E \cap F) \enspace:\]

il termine \(\mathbb P(E \cap F)\) viene sottratto per evitare di considerare due volte gli esiti che appartengono a entrambi gli eventi. Se \(E\) e \(F\) sono disgiunti, \(\mathbb P(E \cap F) = 0\) e la formula si riduce alla somma semplice.

Se \(\mathbb P(E) = \mathbb P(F)\), allora \(E = F\).

Falsa. La funzione di probabilità associa a ogni evento un numero reale, ma gli assiomi di Kolmogorov non implicano che questa funzione sia iniettiva. È molto facile trovare dei controesempi: uno dei più banali riguarda il lancio di una moneta bilanciata, nei quali gli eventi «testa» e «croce» — che sono chiaramente distinti — hanno entrambi probabilità \(\tfrac{1}{2}\).

Se \(E \subseteq F\), allora \(\mathbb P(E) \leq \mathbb P(F)\).

Vera. È l'enunciato del Teorema 9: poiché \(F = E \cup (F \cap \overline{E})\) con i due insiemi disgiunti, per il terzo assioma di Kolmogorov si ha \(\mathbb P(F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F \cap \overline{E}) \geq \mathbb P(E)\).

Per ogni coppia di eventi \(E\) ed \(F\), si ha \(\mathbb P(E \cup F) \leq \mathbb P(E) + \mathbb P(F)\).

Vera. Dal Teorema 7 si ha \(\mathbb P(E \cup F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F) - \mathbb P(E \cap F)\). Poiché \(\mathbb P(E \cap F) \geq 0\) per il primo assioma di Kolmogorov, sottrarlo non può che ridurre (o al limite lasciare invariata) la somma \(\mathbb P(E) + \mathbb P(F)\), da cui segue la disuguaglianza.

Se \(\mathbb P(E) + \mathbb P(F) > 1\), allora \(E\) e \(F\) non possono essere mutuamente esclusivi.

Vera. Se \(E\) e \(F\) fossero disgiunti, per il terzo assioma di Kolmogorov varrebbe \(\mathbb P(E \cup F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F) > 1\). Ma \(E \cup F \subseteq \Omega\), quindi per il Teorema 9 si avrebbe \(\mathbb P(E \cup F) \leq \mathbb P(\Omega) = 1\): una contraddizione. Dunque \(E\) e \(F\) non possono essere mutuamente esclusivi.

18.2.2. Esercizi

In tutti gli esercizi che seguono, ove non esplicitamente indicato, presuppongo che sia stato fissato uno spazio \((\Omega, \mathsf A, \mathbb P)\) nel quale considerare i vari eventi.

Esercizio 108 (••)

Dimostrate che vale la seguente proprietà di sub-additività per la funzione di probabilità:

\[\forall E_1, \dots, E_n \quad \mathbb P \left( \bigcup_{i=1}^n E_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \mathbb P(E_i) \enspace.\]

Solution to Esercizio 108 (••)

Procediamo per induzione su \(n\).

Caso base (\(n = 2\)). Per il Teorema 7, \(\mathbb P(E_1 \cup E_2) = \mathbb P(E_1) + \mathbb P(E_2) - \mathbb P(E_1 \cap E_2)\). Per il primo assioma di Kolmogorov, \(\mathbb P(E_1 \cap E_2) \geq 0\), così che \(\mathbb P(E_1 \cup E_2) \leq \mathbb P(E_1) + \mathbb P(E_2)\).

Passo induttivo. Supponiamo che la proprietà valga per \(n-1\) eventi. Allora:

\[\mathbb P \left( \bigcup_{i=1}^n E_i \right) = \mathbb P \left( \left(\bigcup_{i=1}^{n-1} E_i\right) \cup E_n \right) \leq \mathbb P \left( \bigcup_{i=1}^{n-1} E_i \right) + \mathbb P(E_n) \leq \sum_{i=1}^{n-1} \mathbb P(E_i) + \mathbb P(E_n) = \sum_{i=1}^n \mathbb P(E_i) \enspace.\]

Esercizio 109 (•)

Usando gli Sling Ring, Doctor Strange è in grado di aprire dei portali dimensionali, ma se si trova in situazioni di stress o se i suoi poteri sono ridotti, non sempre questo potere ha effetto. Se la probabilità con cui Doctor Strange riesce ad attivare gli Sling Ring è 0.63, qual è la probabilità con cui l'attivazione non ha effetto?

Solution to Esercizio 109 (•)

Se indichiamo con \(S\) l'evento «gli Sling Ring aprono un portale dimensionale», così che \(\mathbb P(S) = 0.63\), la probabilità richiesta si ottiene facilmente grazie al Teorema 6:

\[\mathbb P(\overline S) = 1 - \mathbb P(S) = 1 - 0.63 = 0.37 \enspace.\]

Esercizio 110 (••)

Dupli-Kate (vedi Esempio 10) è in missione e deve affrontare due ondate di nemici. La probabilità che riesca a duplicarsi abbastanza rapidamente da bloccare la prima ondata è \(0.85\), mentre la probabilità che riesca a farlo per la seconda ondata è \(0.7\). Poiché le due ondate si verificano in rapida successione, i duplicati già generati durante la prima ondata possono aiutare nella seconda: la probabilità che Dupli-Kate blocchi entrambe le ondate contemporaneamente è \(0.6\). Calcolate le probabilità dei seguenti eventi:

1. Dupli-Kate riesce a bloccare almeno una delle due ondate,

2. Dupli-Kate non riesce a bloccare nessuna delle due ondate.

Solution to Esercizio 110 (••)

Se \(P\) e \(S\) indicano gli eventi che si verificano, rispettivamente, quando Dupli-Kate riesce a bloccare la prima e la seconda ondata, avremo \(\mathbb P(P) = 0.85\), \(\mathbb P(S) = 0.7\) e \(\mathbb P(P \cap S) = 0.6\). Applicando il Teorema 7, la probabilità di bloccare almeno un'ondata sarà

\[\mathbb P(P \cup S) = \mathbb P(P) + \mathbb P(S) - \mathbb P(P \cap S) = 0.85 + 0.70 - 0.60 = 0.95 \enspace.\]

La probabilità che Dupli-Kate non riesca a bloccare nessuna delle due ondate è invece

\[\mathbb P\left(\overline{P \cup S}\right) = 1 - P(P \cup S) = 1 - 0.95 = 0.05 \enspace.\]

Esercizio 111 (•)

Hourman è un supereroe che ha scoperto un farmaco, chiamato Miraclo che gli conferisce forza e velocità sovrumane, ma i cui effetti durano solo per un'ora. Grazie a questi poteri, e dovendo impedire la fuga di un criminale che si è nascosto nel porto di New York, che ha due uscite. Hourman stima che le probabilità che il fuggitivo imbocchi l'uscita a nord e a est siano, rispettivamente, \(0.45\) e \(0.3\). In alternativa, il fuggitivo potrebbe decidere di restare nascosto nel porto, e in tal caso non sarebbe possibile intercettarlo. Hourman ha piazzato trappole su entrambe le uscite prima che il Miraclo esaurisse i suoi effetti. Calcolate:

1. la probabilità che Hourman riesca a intrappolare il criminale,

2. la probabilità che il criminale decida di restare nascosto nel porto.

Solution to Esercizio 111 (•)

Definiamo i seguenti eventi:

• \(N\): «il criminale tenta la fuga usando l'uscita a nord», con \(\mathbb P(N) = 0.45\);

• \(E\): «il criminale tenta la fuga usando l'uscita a est», con \(\mathbb P(E) = 0.3\);

• \(P\): «il criminale resta nascosto nel porto».

Questi tre eventi sono mutuamente esclusivi, dunque la prima probabilità si ottiene applicando direttamente il terzo assioma di Kolmogorov:

\[\mathbb P(N \cup E) = \mathbb P(E) + \mathbb P(N) = 0.45 + 0.3 = 0.75 \enspace.\]

Inoltre, l'unione dei tre eventi è \(\Omega\), pertanto la seconda probabilità si ottiene applicando il Teorema 6:

\[\mathbb P(P) = 1 - \mathbb(N \cup E) = 1 - 0.75 = 0.25 \enspace.\]

Esercizio 112 (•••)

Dimostrate che \(\mathbb P(E \cap \overline F) = \mathbb P(E) - \mathbb P(E \cap F)\).

Solution to Esercizio 112 (•••)

Si ha che \(E = (E \cap F) \cup (E \cap \overline F)\), dove i due insiemi considerati nell'unione sono disgiunti. Per il terzo assioma di Kolmogorov, segue \(\mathbb P(E \cap \overline F) = \mathbb P(E) - \mathbb P(E \cap F)\).

Esercizio 113 (•••)

La differenza simmetrica tra due insiemi \(E\) ed \(F\) è l'insieme

\[E \Delta F = (E \cap \overline F) \cup (\overline E \cap F)\]

formato da tutti e soli gli elementi appartengono a uno e uno solo dei due insiemi.

1. Dimostrate che se \(E, F \in \mathsf A\), allora \(E \Delta F \in \mathsf A\).

2. Indicate quando l'evento \(E \Delta F\) si verifica.

3. Dimostrate che, per ogni \(E, F \in \mathsf A\), vale \(\mathbb P(E \Delta F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F)- 2 \, \mathbb P(E \cap F)\).

Solution to Esercizio 113 (•••)

1. \(E \Delta F\) è definito in termini delle operazioni di unione, intersezione e complemento applicate a \(E\) ed \(F\), che sono contenuti in \(\mathsf A\). Quest'ultima è chiusa rispetto a tali operazioni, dunque \(E \Delta F \in \mathsf A\).

2. L'evento \(E \Delta F\) si verifica se e solo se si verifica esattamente uno tra i due eventi \(E\) ed \(F\).

3. Siccome \(E \cap \overline F\) ed \(\overline E \cap F\) sono disgiunti, per il terzo assioma di Kolmogorov si ha \(\mathbb P(E \Delta F) = \mathbb P(E \cap \overline F) + \mathbb P(\overline E \cap F)\). Applicando a queste due ultime probabilità il risultato dell’Esercizio 112 si ottiene:

   \[\mathbb P(E \Delta F) = \mathbb P(E) - \mathbb P(E \cap F) + \mathbb P(F) - \mathbb P(E \cap F) = \mathbb P(E) + \mathbb P(F) - 2 \mathbb P(E \cap F) \enspace.\]

Esercizio 114 (•••)

Dimostrate che, per ogni coppia di eventi \(E\) ed \(F\), si ha \(\mathbb P(\overline E \cap \overline F) = 1 - \mathbb P(E) - \mathbb P(F) + \mathbb P(E \cap F)\).

Solution to Esercizio 114 (•••)

\(\overline E \cap \overline F = \overline{E \cup F}\) per le leggi di De Morgan, pertanto

\[\mathbb P(\overline E \cap \overline F) = 1 - \mathbb P(E \cup F) = 1 - \mathbb P(E) - \mathbb P(F) + \mathbb P(E \cap F) \enspace.\]

Esercizio 115 (••••)

Dimostrate per induzione il Teorema 8.

Solution to Esercizio 115 (••••)

Vogliamo dimostrare che, per ogni successione di eventi \(E_1, \dots, E_n\),

(18.5)\[\mathbb P \left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right) = \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\left(\bigcap_{i \in S} E_i\right) \enspace.\]

Procediamo per induzione su \(n\).

Caso base (\(n = 2\)). Il principio di inclusione-esclusione assume la forma

\[\mathbb P(E_1 \cup E_2) = \mathbb P(E_1) + \mathbb P(E_2) - \mathbb P(E_1 \cap E_2) \enspace,\]

che è l'enunciato del Teorema 7, e dunque abbiamo già mostrato.

Passo induttivo. Supponiamo vero il principio per \(n-1\) eventi e dimostriamolo per \(n\) eventi. Poniamo \(F = E_1 \cup \dots \cup E_{n-1}\), in modo che

\[\bigcup_{i=1}^n E_i = F \cup E_n \enspace.\]

Quest'ultima equazione riguarda l'unione di due eventi, per cui possiamo applicare il caso base, ottenendo

\[\mathbb P(F \cup E_n) = \mathbb P(F) + \mathbb P(E_n) - \mathbb P(F \cap E_n) \enspace.\]

D'altra parte, \(F \cap E_n = (E_1 \cup \dots \cup E_{n-1}) \cap E_n = (E_1 \cap E_n) \cup \dots \cup (E_{n-1} \cap E_n)\) coinvolge l'unione di \(n - 1\) eventi, il che permette di applicare l'ipotesi induttiva, ottenendo

(18.6)\[\mathbb P(F \cap E_n) = \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n-1\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\left(\bigcap_{i \in S} (E_i \cap E_n)\right) = \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n-1\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\left(E_n \cap \bigcap_{i \in S} E_i\right) \enspace.\]

L'ipotesi induttiva si può applicare anche a \(F\), in questo quest'ultimo è uguale all'unione di \(n - 1\) eventi:

\[\mathbb P(F) = \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n-1\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\left(\bigcap_{i \in S} E_i\right).\]

Sostituendo in (18.6), si ottiene:

(18.7)\[\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right) = \underbrace{ \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n-1\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\!\left(\bigcap_{i\in S} E_i\right) }_{\text{gruppo A}} + \underbrace{\mathbb P(E_n)}_{\text{gruppo B}} - \underbrace{ \sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1, \dots, n-1\}} (-1)^{|S|+1} \mathbb P\!\left(E_n \cap \bigcap_{i\in S} E_i\right) }_{\text{gruppo C (da verificare)}} \enspace.\]

Per terminare la dimostrazione, osserviamo che ogni sottoinsieme non vuoto di \(\{1, \dots, n\}\), che individua uno degli addendi in (18.5), appartiene a uno e uno solo dei tre gruppi che seguono:

1. gruppo A: tutti i sottoinsiemi \(S\) tali che \(\emptyset \neq S \subseteq \{ 1, \dots, n-1 \}\);

2. gruppo B: il sottoinsieme \(\{ n \}\);

3. gruppo C: tutti i sottoinsiemi della forma \(S \cup \{ n \}\), dove \(S\) è tale che \(\emptyset \neq S \subseteq \{ 1, \dots, n-1 \}\).

I contributi dei gruppi A e B coincidono con i termini corrispondenti in (18.7). Rimane da verificare il gruppo C: per ogni insieme in questo gruppo, in (18.5) è presente il coefficiente moltiplicativo \((-1)^{|S \cup \{n\}|+1}\). Poiché \(n \notin S\), si ha \(|S \cup \{n\}| = |S|+1\), quindi:

\[(-1)^{|S \cup \{n\}|+1} = (-1)^{|S|+2} = -(-1)^{|S|+1} \enspace.\]

Il contributo del gruppo C nella formula obiettivo è dunque:

\[\sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1,\dots,n-1\}} (-1)^{|S|+2}\, \mathbb P\!\left(\bigcap_{i \in S\cup\{n\}} E_i\right) = -\sum_{\emptyset \neq S \subseteq \{1,\dots,n-1\}} (-1)^{|S|+1}\, \mathbb P\!\left(E_n \cap \bigcap_{i\in S} E_i\right) \enspace,\]

che coincide esattamente con il terzo termine della formula ottenuta. I tre contributi combaciano, e la dimostrazione è completa.

Esercizio 116 (•••)

Bloodshot viene inviato in missione in un complesso militare sorvegliato da tre sistemi di sicurezza indipendenti: un rilevatore di calore, un sistema di riconoscimento facciale e una rete di sensori al suolo. Il suo corpo è potenziato con dei dispositivi nanotecnologici, detti naniti, che possono interferire con ciascun sistema, ma non sempre con successo: la probabilità di disattivare il rilevatore di calore è \(0.7\), quella di disattivare il riconoscimento facciale è \(0.5\), e quella di disattivare i sensori al suolo è \(0.6\). La probabilità di disattivare contemporaneamente il rilevatore di calore e il riconoscimento facciale è \(0.35\), quella di disattivare contemporaneamente il rilevatore di calore e i sensori al suolo è \(0.40\), e quella di disattivare contemporaneamente il riconoscimento facciale e i sensori al suolo è \(0.20\). La probabilità di disattivare tutti e tre i sistemi contemporaneamente è \(0.08\).

Calcolate la probabilità che Bloodshot riesca a disattivare almeno uno dei tre sistemi di sorveglianza.

Solution to Esercizio 116 (•••)

Se definiamo gli eventi:

• \(C\) = «i naniti disattivano il rilevatore di calore»,

• \(F\) = «i naniti disattivano il riconoscimento facciale»,

• \(S\) = «i naniti disattivano i sensori al suolo»,

il testo del problema dice che \(\mathbb P(C) = 0.7\), \(\mathbb P(F) = 0.5\), \(\mathbb P(S) = 0.6\), \(\mathbb P(C \cap F) = 0.35\), \(\mathbb P(C \cap S) = 0.40\), \(\mathbb P(F \cap S) = 0.20\) e \(\mathbb P(C \cap F \cap S) = 0.08\). L'evento al quale siamo interessati è \(C \cup F \cup S\), e la sua probabilità si può calcolare applicando il principio di inclusione-esclusione:

\[\mathbb P(C \cup F \cup S) = \mathbb P(C) + \mathbb P(F) + \mathbb P(S) - \mathbb P(C \cap F) - \mathbb P(C \cap S) - \mathbb P(F \cap S) + \mathbb P(C \cap F \cap S) = 0.7 + 0.5 + 0.6 - 0.35 - 0.40 - 0.20 + 0.08 = 0.93 \enspace.\]

Esercizio 117 (••)

Osservando che i membri degli Avengers sono anche supereroi Marvel, sia \(A\) l'evento «è un Avenger» e \(M\) l'evento «è un supereroe Marvel». Utilizzando l'interpretazione frequentista e prendendo a riferimento il database che utilizziamo, supponiamo che questo contenga \(3200\) personaggi, \(7\) dei quali siano degli Avengers. È possibile che \(\mathbb P(M) = 0.004\)?

Solution to Esercizio 117 (••)

L'interpretazione frequentista ci permette di definire \(\mathbb P(A) = \frac{7}{1200} = 0.006\). Siccome \(A \subseteq M\), per il Teorema 9 deve valere \(\mathbb P(M) \geq \mathbb P(A) = 0.006\), pertanto non è possibile che la probabilità di \(M\) sia uguale a \(0.004\).

Esercizio 118 (••)

Riconsiderate l'esercizio precedente, dove ora \(\mathbb P(M) = 0.12\). Calcolate:

1. \(\mathbb P(M \cap \overline A)\), ovvero la probabilità di estrarre un supereroe Marvel che non sia un Avenger;

2. \(\mathbb P(\overline M \cap A)\), ovvero la probabilità di estrarre un Avenger che non sia un supereroe Marvel.

Solution to Esercizio 118 (••)

1. Per calcolare \(\mathbb P(M \cap \overline A)\), osserviamo che siccome \(A \subseteq M\), l'insieme \(M\) può essere scomposto nell'unione di \(A\) e \(M \cap \overline A\), che sono due eventi disgiunti. Per il terzo assioma di Kolmogorov si ha \(\mathbb P(M) = \mathbb P(A) + \mathbb P(M \cap \overline A)\), da cui

   \[\mathbb P(M \cap \overline A) = \mathbb P(M) - \mathbb P(A) = 0.12 - 0.006 = 0.114 \enspace.\]

2. \(A \subseteq M\) implica \(A \cap \overline M = \varnothing\), dunque \(\mathbb P(\overline M \cap A) = \mathbb P(\varnothing) = 0\).

Esercizio 119 (••••)

Dimostrate che, per ogni \(E, F \in \mathsf A\),

\[\max(0, \mathbb P(E) + \mathbb P(F) - 1) \leq \mathbb P(E \cap F) \leq \min(\mathbb P(E), \mathbb P(F)).\]

Utilizzate poi questo risultato per rispondere alla seguente domanda: gli eventi \(V\) = «un supereroe può volare» e \(M\) = «un supereroe porta il mantello» sono tali che \(\mathbb P(V) = 0.4\) e \(\mathbb P(M) = 0.5\). Qual è il valore minimo per la probabilità di osservare un supereroe che vola e porta il mantello? E qual è il suo valore massimo?

Solution to Esercizio 119 (••••)

Poiché \(E \cap F \subseteq E\), ma anche \(E \cap F \subseteq F\), per il Teorema 9 abbiamo \(\mathbb P(E \cap F) \leq \mathbb P(E)\) e \(\mathbb P(E \cap F) \leq \mathbb P(F)\). Da queste due relazione si ottiene \(\mathbb P(E \cap F) \leq \min(\mathbb P(E), \mathbb P(F))\), il che dimostra la validità del limite superiore.

Per quanto riguarda invece il limite inferiore, dal Teorema 7 possiamo derivare \(\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - \mathbb P(A \cup B)\), e siccome \(\mathbb P(A \cup B) \leq 1\), abbiamo \(\mathbb P(A \cap B) \geq \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - 1\). Inoltre, per il primo assioma di Kolmogorov, \(\mathbb P(A \cap B) \geq 0\). Quindi \(\mathbb P(A \cap B) \geq \max(0, \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - 1)\).

Applicando questi due limiti al caso descritto, si ottiene che:

• il valore minimo per \(\mathbb P(V \cap M)\) è \(\max(0, 0.4 + 0.5 - 1) = 0\),

• il suo valore massimo è invece \(\min(0.4, 0.5) = 0.4\).

18.2.3. Concetti fondamentali

Pensate ai concetti fondamentali illustrati in questo paragrafo ed elencateli. Nella lista qui sotto sono già presenti gli stessi concetti, ma nascosti. Cliccate sul pulsante per mostrarli sotto forma di parole chiave, quindi confrontateli con la vostra lista. Provate infine a descrivere ciascun concetto con parole vostre.

---

[1]

Ho scelto di fare riferimento allo standard ISO 9 per traslitterare dall'alfabeto cirillico a quello latino, così che il nome originale Андре́й Никола́евич Колмого́ров diventa Andrej Nikolaevič Kolmogorov. In realtà, esistono varie forme di traslitterazione, che dipendono anche dalla lingua di destinazione. Per questo motivo, nella letteratura e nei testi di riferimento si possono trovare denominazioni differenti dello stesso autore: per esempio, nel momento in cui scrivo questa nota (aprile 2026), Wikipedia utilizza Andrey Nikolaevich Kolmogorov nella versione in inglese, Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov in quella francese, Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow in quella tedesca e Andrej Nikolaevič Kolmogorov in quella italiana.

[2]

La grafia utilizzata per produrre il simbolo \(\mathbb P\) deriva da una convenzione nata nella scrittura a mano e alla lavagna e solo successivamente trasferita alla pratica tipografica. Le lettere che nei testi stampati comparivano in grassetto, come \(\mathbf P\), erano infatti difficili da riprodurre con il gesso o con una penna senza perdere la distinzione rispetto alle lettere ordinarie. Per ovviare a questo inconveniente, tra la fine degli anni Cinquanta e l'inizio degli anni Sessanta sembra essersi diffusa in ambito accademico la pratica di raddoppiare alcuni tratti delle lettere, simulando così visivamente il maggior peso del carattere. Questa grafia, che prese il nome di blackboard bold, si diffuse rapidamente sulle lavagne e cominciò a comparire anche nei testi stampati già dalla metà degli anni Sessanta. Nel 1985 l'American Mathematical Society realizzò un apposito alfabeto tipografico da utilizzare con il sistema di impaginazione \(\TeX\), e successivamente con \(\LaTeX\), a tutt'oggi ampiamente utilizzato per la produzione di documentazione scientifica. In questo senso, simboli come \(\mathbb N\), \(\mathbb R\) o \(\mathbb P\) conservano nella loro forma tipografica la traccia di un espediente nato originariamente per «scrivere in grassetto» quando gli strumenti disponibili non permettevano di farlo direttamente.

[3]

Questa identificazione è necessariamente approssimativa: il dataset non contiene un campo esplicito per l'appartenenza agli X-Men, e alcuni nomi (come Storm o Angel) potrebbero corrispondere a personaggi non correlati al gruppo mutante.