19. Variabili aleatorie

Negli ultimi capitoli abbiamo lavorato con spazi di probabilità \((\Omega, \mathsf A, \mathbb P)\) in cui gli esiti \(\omega \in \Omega\) erano oggetti anche piuttosto eterogenei: coppie di risultati, configurazioni di componenti, supereroi estratti a caso. Lo spazio \(\Omega\), d'altronde, è un insieme, e in quanto tale agisce come un semplice contenitore di possibilità. In questo contesto, tutto ciò che \(\mathbb P\) ci permette di fare è pesare gli eventi che possiamo costruire a partire da \(\Omega\). Quando è possibile, però, piuttosto che fermarsi a un ragionamento basato sull'esito grezzo dell'esperimento è preferibile esprimerlo tramite un numero che ne misura una sorta di intensità. Ci possiamo chiedere, ad esempio, quante minacce abbia individuato una squadra in ricognizione, quanti dei dispositivi montati su un'armatura stiano funzionando, o su quale piano sia stato teletrasportato un personaggio.

A volte, è l'esito stesso dell'esperimento casuale a essere rappresentato da un numero — come quando si lancia un dado — ma più spesso capita che sia necessario un vero e proprio passaggio dall'esito al numero — succede quando si lanciano due dadi e si sommano i risultati, o quando si seleziona un supereroe a caso e se ne misura l'altezza. Tutto ciò è molto più di una comodità notazionale: si «trasporta» il problema da \(\Omega\), che è un generico insieme normalmente poco strutturato dal punto di vista matematico, dentro \(\mathbb R\), che è invece ricco di strutture algebriche e metriche e topologiche: posso sommare, moltiplicare, confrontare, ordinare, misurare distanze, passare al limite. Più in generale, entrano in gioco gli strumenti dell'algebra e dell'analisi, che su \(\Omega\) non avrebbero alcun significato. È questo il vero guadagno: esprimere l'esito attraverso un numero non si limita a codificarlo, bensì arricchisce i ragionamenti che possiamo fare su di esso. Va però usata una certa cautela, perché non tutte le operazioni disponibili in \(\mathbb R\) sono legittime in ogni situazione: la matematica si applica ove ciò ha senso. Se il numero che usiamo individua un'etichetta ordinata, come il piano su cui ci si trova al termine del teletrasporto, avrebbe senso confrontare due piani, ma non sommarli o sottrarli: il risultato non corrisponderebbe necessariamente ad alcun piano in cui qualcuno sia mai arrivato, o addirittura a un piano esistente. Quando invece il numero che utilizziamo è il risultato di una procedura di conteggio — come le minacce individuate, o i dispositivi funzionanti — possiamo usare l'aritmetica, per esempio sommando il numero di minacce, e ottenere un risultato al quale dare un significato. Ma anche in casi come questo, certe operazioni restano prive di significato, come il prodotto di due conteggi. Tenere a mente quali manipolazioni siano sensate, e non soltanto quali siano formalmente eseguibili, deve essere una preoccupazione ricorrente.

Non tutte le funzioni \(X:\Omega \to \mathbb R\) rappresentano delle variabili aleatorie, come vedremo più avanti.

L'oggetto naturale per formalizzare questa trasformazione da un esito a un numero è una particolare funzione che ha \(\Omega\) come dominio e \(\mathbb R\) come codominio. Nella letteratura moderna, questa funzione viene tipicamente indicata usando una lettera maiuscola (e \(X\) è la scelta più ricorrente) e la si chiama variabile aleatoria. Questo nome è in un certo senso fuorviante, perché non si tratta né di una variabile nel senso dell'algebra o dell'informatica, né di qualcosa di propriamente «aleatorio»: è infatti una regola deterministica che traduce esiti in numeri. In effetti, l'aleatorietà non sta nella funzione \(X\) in sé, ma nel suo argomento \(\omega\), che è l'esito di un esperimento casuale formalizzato in uno spazio di probabilità \((\Omega, \mathsf A, \mathbb P)\). Di conseguenza, ciò che diventa non deterministico è l'immagine di \(\omega\) attraverso \(X\). Questo ha una conseguenza importante: quasi sempre possiamo dimenticare \(\Omega\) — e, in larga misura, anche il fatto che \(X\) sia una funzione. Nella pratica comune, infatti, si identifica \(X\) direttamente con i valori che essa assume: per esempio, si usa la notazione \(X \leq x\) per indicare l'evento \(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq x \}\), con estensioni analoghe ad altre espressioni che coinvolgono \(X\). È proprio qui che emerge il significato del termine «variabile aleatoria»: \(X\) è variabile, perché ogni volta che la si osserva (cioè ogni volta che si esegue l'esperimento casuale e si trasforma l'esito ottenuto in un numero) si può ottenere un risultato diverso. Ma varia in modo aleatorio, perché il valore osservato dipende da una sorgente probabilistica — lo spazio \((\Omega, \mathsf A, \mathbb P)\).

Nella pratica, una distribuzione viene descritta specificando quali sono i valori che può assumere la variabile aleatoria, unitamente a una funzione che permette di calcolare la probabilità degli eventi che la coinvolgono.

Una volta fatto questo passaggio concettuale, le risposte alle domande che ci possiamo porre — per esempio quanto valga \(X\) in media, quanto sia probabile che superi una certa soglia o quanto siano dispersi i suoi valori — dipendono soltanto dalla distribuzione di \(X\), che descrive come la probabilità dello spazio originario si ripartisce sui valori numerici assunti dalla variabile. È su questo oggetto, più che sullo spazio originario \(\Omega\), che si costruisce gran parte della teoria successiva.

Proprio guardando al modo in cui i valori si distribuiscono sui numeri reali, si scopre che le variabili aleatorie non sono tutte dello stesso tipo: si distinguono tradizionalmente tre grandi famiglie. Vi sono quelle discrete, che assumono valori in un insieme al più numerabile (tipicamente conteggi, come negli esempi visti fin qui)[1], quelle continue, che possono variare su insiemi continui di valori[2] e infine quelle miste, che combinano i due comportamenti precedenti[3]. In questo capitolo introduco i concetti fondamentali e le formalizzazioni matematiche che valgono in generale, per qualunque tipo di variabile aleatoria, per poi concentrarmi sul caso discreto e svilupparne in dettaglio gli strumenti. Ho fatto questa scelta deliberatamente, in quanto permette di affrontare il Capitolo 20, dedicato ai modelli discreti, su basi già solide, senza appesantire fin da subito il discorso con le variabili continue — che richiedono un apparato analitico dedicato. Studieremo questo apparato nel Capitolo 21, così da avere a disposizione gli strumenti per trattare i modelli continui proprio quando ci serviranno.

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[1]

Un'incarnazione classica delle variabili aleatorie discrete è quella che coinvolge osservazioni isolate (tipicamente i numeri interi). Ma la proprietà essenziale delle distribuzioni corrispondenti è quella di assumere valori in un insieme finito o infinito numerabile: ciò fa sì che esistano variabili discrete i cui valori non sono affatto isolati, come accade quando essi formano l'insieme dei numeri razionali.

[2]

In questo caso, la descrizione è volutamente intuitiva. Ciò che caratterizza una variabile continua non è il fatto di assumere valori in un insieme continuo, bensì l'esistenza di una funzione di densità che consente di calcolare la probabilità degli eventi tramite un integrale. È sulla distribuzione, e non sull'insieme dei valori assunti, che poggia la definizione, come vedremo nel Capitolo 21.

[3]

La suddivisione in queste tre famiglie è quella convenzionale, ma non è esaustiva, perché esistono distribuzioni che sfuggono a questa tripartizione. Si tratta però di distribuzioni molto particolari, la cui descrizione va decisamente al di là dello scopo di questo libro, e che in ogni caso non compariranno nelle applicazioni che consideremo qui.