21.5. Il modello esponenziale

Data una successione \(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots\) di valori tali che \(p_i \in (0, 1]\) per ogni \(i \in \mathbb N\), consideriamo la famiglia di variabili aleatorie geometirche \(\{ X_i \sim \mathrm G(p_n), i \in \mathbb N \}\). Per quanto abbiamo visto nel Paragrafo 20.4, la funzione di ripartizione di ogni \(X_i\) sarà

\[F_{X_i}(x; p_i) = 1 - (1 - p_i)^{\lfloor x \rfloor + 1} \mathrm I_{\mathbb N \cup \{0\}}(x) \enspace.\]

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as st

ps = [0.8, 0.5, 0.2]

Xs = [st.geom(p, loc=-1) for p in ps]

x = np.arange(0, 100)

fig, axes = plt.subplots(len(ps), 1, sharex=True)

for i, (ax, X) in enumerate(zip(axes, Xs)):
    pdf = X.pmf(x)
    ax.vlines(x[:10], 0, pdf[:10])
    ax.plot(x[:10], pdf[:10], 'o')
    ax.set_ylim(0, 0.9)
    ax.set_ylabel(rf'$X_{i+1}$')
fig

Figura 100 Grafici della funzione di massa di probabilità di \(X_i\) per \(i = 1, 2, 3\), \(p_1 = 0.8\), \(p_2 = 0.5\) e \(p_3 = 0.2\).

Dato \(\lambda \in [0, +\infty)\), definiamo \(Y_i = \frac{p_i}{\lambda} X_i\) per ogni \(i \in \mathbb N\). In altre parole, \(Y\) si ottiene scalando \(X\) di un fattore opportuno e ciò porta ad «addensare» i relativi punti di massa di quest'ultima (che vengono divisi per una quantità positiva e moltiplicati per un valore tra zero e uno).

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lambdas = [0.4, 1, 3]

fig, axes = plt.subplots(len(ps), 3, sharex=True, figsize=(15, 15))

for col, lambda_ in zip(axes.T, lambdas):
    for ax, X, p in zip(col, Xs, ps):
        y = x * p / lambda_
        pdf = X.pmf(x)
        ax.vlines(y, 0, pdf)
        ax.plot(y, pdf, 'o')
        ax.set_xlim(-0.5, 10)
        ax.set_ylim(0, 0.9)

for i, (ax, p) in enumerate(zip(axes.T[0], ps)):
    ax.set_ylabel(rf'$X_{i+1}$')

for i, (ax, lambda_) in enumerate(zip(axes[-1], lambdas)):
    ax.set_xlabel(rf'$\lambda = {lambda_}$')

fig

Figura 101 Grafici della funzione di massa di probabilità delle variabili aleatorie \(Y_i\) ottenute dalle corrispondenti \(X_i\) della Figura 100. Ogni colonna fa riferimento a un valore differente per \(\lambda\).

La funzione di ripartizione delle \(Y_i\) è nulla per ogni argomento negativo. Concentrandosi invece sugli argomenti non negativi, si ha

\[F_{Y_i}(x; p_i, \lambda) = \mathbb P(Y_i \leq x) = \mathbb P\left(X_i \leq \frac{\lambda}{p_i} x \right) = F_{X_i}\left(\frac{\lambda}{p_i} x; p_i \right) = 1 - (1 - p_i)^{\left\lfloor \frac{\lambda x}{p_i} \right\rfloor + 1} \enspace.\]

In questo caso stiamo sfruttando il fatto che \(x - 1 \leq \lfloor x \rfloor \leq x\) (vedi il Paragrafo 21.1) unitamente al fatto che l'elevamentobfatto con base \(1 - p\) è un'operazione monotona non crescente.

Concentriamoci sulla quantità \((1 - p)^{\left\lfloor \frac{\lambda x}{p} \right\rfloor + 1}\), notando che vale

(21.12)\[(1 - p)^{\frac{\lambda x}{p}} \geq (1 - p)^{\left\lfloor \frac{\lambda x}{p} \right\rfloor + 1} \geq (1 - p)^{\frac{\lambda x}{p} + 1}.\]

Studiamo il limite per \(p \to 0\) della quantità a sinistra di questa catena di disuguaglianze:

Si verifica facilmente che \(\lim_{p \to 0}\frac{\ln(1 - p)}{p} = -1\) applicando il teorema di de l'Hôpital.

\[\lim_{p \to 0} (1 - p)^{\frac{\lambda x}{p}} = \lim_{p \to 0} \mathrm e^{\ln (1 - p)^{\frac{\lambda x}{p}}} = \lim_{p \to 0} \mathrm e^{\lambda x \frac{\ln (1 - p)}{p}} = \mathrm e^{-\lambda x} \enspace.\]

D'altra parte, per quanto riguarda la quantità più a destra in (21.12) si ha che

\[\lim_{p \to 0}(1 - p)^{\frac{\lambda x}{p} + 1} = \lim_{p \to 0}(1 - p)^{\frac{\lambda x}{p}} -\lim_{p \to 0} p (1 - p)^{\frac{\lambda x}{p}} = \mathrm e^{-\lambda x} - 0 \enspace,\]

pertanto applicando il teorema dei due Carabinieri si ottiene

\[\lim_{p_i \to 0} F(x; p_i, \lambda) = 1 - \mathrm e^{-\lambda x} \enspace.\]

Riassumendo, le distribuzioni delle \(Y_i\) tendono a una distribuzione continua caratterizzata dalla ripartizione

Si verifica facilmente che \(F\) soddisfa i requisiti che definiscono una funzione di ripartizione continua.

(21.13)\[F(x; \lambda) \coloneqq \left(1 - \mathrm e^{-\lambda x} \right) \; \mathrm I_{\mathbb R^+}(x) \enspace .\]

e dalla densità che si ottiene derivando questa stessa funzione:

(21.14)\[f(x; \lambda) = F'(x; \lambda) = \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm I_{\mathbb R^+}(x) \enspace ,\]

che si verifica facilmente avere integrale su \(\mathbb R\) uguale a \(1\), sostituendo nell'integranda \(y \coloneqq \lambda x\):

Gli estremi di integrazione non vanno scambiati perché \(\lambda\) non è mai negativo.

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x; \lambda) \; \mathrm d x = \int_{0}^{+\infty} \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x = \int_{0}^{+\infty} \mathrm e^{-y} \; \mathrm d y = \left. -\mathrm e^{-y} \right|_0^{+\infty} = -0 + 1 = 1 \enspace .\]

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def exponential_pdf(x, lambda_):
    return lambda_ * np.exp(-lambda_ * x)

fig, axes = plt.subplots(1, len(ps), sharey=True, figsize=(15, 5))

lambda_ = 1
for ax, X, p in zip(axes, Xs, ps):
    y = x * p / lambda_
    pdf = X.pmf(x) / (p/lambda_)
    ax.bar(y, pdf, color='lightgray', edgecolor='gray', width=p/lambda_)

    ax.set_xlim(-0.5, 10)
    ax.set_ylim(0, 1.02)

    y_exp = np.linspace(0, 10, 100)
    ax.plot(y_exp, exponential_pdf(y_exp, lambda_))
    ax.set_xlabel(rf'$p_{i+1} = {p}$')
fig

Figura 102 Convergenza della distribuzione geometrica a quella esponenziale. Le barre grige visualizzano l'area delimitata dalle funzioni di densità ottenute convertendo le funzioni di massa di probabilità delle variabili aleatorie \(Y_i\) mostrate nella colonna centrale della Figura 101, relative alla scelta \(\lambda = 1\), sovrapposti alla corrispondente funzione di densità di probabilità (21.14).

Usando la stessa tecnica della Figura 95, la Figura 102 mostra come le densità ottenute convertendo le funzioni di massa di probabilità delle variabili aleatorie \(Y_i\) tendano alla funzione definita in (21.14). Riassumendo, siamo di fronte a un nuovo tipo di distribuzione continua, che viene chiamata distribuzione esponenziale e che è definita formalmente come seuge, unitamente alla corrispondente famiglia.

Definizione 57 (La famiglia delle distribuzioni esponenziali)

Dato \(\lambda \in \mathbb R^+\), la distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda\) è definita dalla funzione di densità di probabilità

\[f(x; \lambda) = F'(x; \lambda) = \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \;\mathrm I_{\mathbb R^+}(x) \enspace,\]

o in modo equivalente dalla funzione di ripartizione

\[F(x; \lambda) = \left(1 - \mathrm e^{-\lambda x} \right) \; \mathrm I_{\mathbb R^+}(x) \enspace.\]

Useremo la notazione \(X \sim \mathrm E(\lambda)\) per specificare che una variabile aleatoria \(X\) segue una distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda\). L'insieme di tutte le distribuzioni esponenziali al variare dei valori per il relativo parametro \(\lambda\) famiglia delle distribuzioni esponenziali.

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lambda_ = 1.3
fig, axes = plt.subplots(1, 2, sharey=True)

x = np.linspace(-5, 0, 50)
y = lambda_ * np.exp(lambda_ * x)
pl = axes[0].plot(x, y)
color = pl[0].get_color()

x = np.linspace(0, 1)
y = [0] * len(x)
axes[0].plot(x, y, color=color)

x = np.linspace(-5, 1, 50)
y = np.exp(lambda_ * x)
y[x>0] = 1
axes[1].plot(x, y)
fig

Figura 103 Grafici delle funzioni di densità (sopra) e di ripartizione (sotto) della distribuzione esponenziale negativa di parametro \(\lambda = 3/2\).

Nomenclatura

La distribuzione esponenziale deve il suo nome al ruolo predominante che la funzione esponenziale (intesa come elevamento di \(\mathrm e\) a una potenza) ha nella definizione delle funzioni di ripartizione e di densità di probabilità. Il fatto che l'argomento di questa funzione sia sempre negativo in corrispondenza delle specificazioni della distribuzione porta alcuni testi a utilizzare il nome «esponenziale negativa». Altre fonti, per esempio [Ross, 2015], distinguono invece le distribuzioni esponenziali da quelle esponenziali negative, usando la prima denominazione esattamente come ho fatto io, e la seconda per indicare l'equivalente della distribuzione esponenziale in cui però densità e ripartizione sono ribaltate rispetto all'asse delle ordinate, portando quindi ad avere \(\mathbb R^-\) come insieme delle specificazioni. Usando questa accezione, una variabile aleatoria \(X\) segue una distribuzione esponenziale negativa di parametro \(\lambda\) se e solo se la sua funzione di densità di probabilità è

\[f_X(x; \lambda) = \lambda \mathrm e^{\lambda x} \mathrm I_{(-\infty, 0]}(x) \enspace.\]

La Figura 103 mostra i grafici della funzione di densità di probabilità e di ripartizione della distribuzione esponenziale negativa che corrisponde al parametro \(\lambda = 3/2\).

La dicitura «famiglia esponenziale» viene inoltre utilizzata per indicare un insieme di famiglie di distribuzioni (che comprende, tra le altre, quelle esponenziali) che godono di particolari proprietà teoriche che in questo libro non vengono considerate. Si tratta quindi di una famiglia di famiglie parametriche di distribuzioni, dunque sarebbe più corretto parlare della meta-famiglia o, come riportato in alcuni testi per essere concisi evitando nel contempo di incorrere in ambiguità, della classe esponenziale.

Nel seguito non tratterò né la famiglia delle distribuzioni esponenziali negative, né la classe esponenziale. Pertanto userò l'aggettivo «esponenziale» per riferirmi solo alle distribuzioni definite in questo paragrafo, o alla corrispondente famiglia parametrica.

Il valore atteso e la varianza delle distribuzioni esponenziali si ottengono facilmente in funzione del loro parametro, applicando le relative definizioni. Più precisamente, il valore atteso di \(X \sim \mathrm E(\lambda)\) si calcola tipicamente integrando per parti: definendo \(f(x) \coloneqq x\) e \(g(x) \coloneqq \mathrm e^{-\lambda x}\) si ha

L'ultimo integrale è uguale a \(1\) perché equivale all'integrale della densità esponenziale su \(\mathbb R\).

\[\begin{align*} \mathbb E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x; \lambda) \; \mathrm d x = \int_0^{+\infty} \lambda x \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x \\ &= -\int_0^{+\infty} f(x) \cdot g'(x) \; \mathrm d x \\ &= \underbrace{-x \mathrm e^{-\lambda x} \bigg|_0^{+\infty}}_{=0} + \int_0^{+\infty} \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x = \frac{1}{\lambda} \underbrace{\int_0^{+\infty} \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x}_{=1} = \frac{1}{\lambda} \enspace. \end{align*}\]

Procedendo in modo analogo, ma ponendo \(f(x) \coloneqq x^2\), si ottiene

In questo caso, l'ultimo integrale è uguale a \(1 / \lambda\) perché il suo calcolo è lo stesso del valore atteso della distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda\).

\[\begin{align*} \mathbb E(X^2) &= \int_0^{+\infty}\lambda x^2 \mathrm e^{-\lambda x} \;\mathrm d x = -\int_0^{+\infty} f(x) g'(x) \;\mathrm d x \\ &= \underbrace{-x^2 \mathrm e^{-\lambda x} \bigg|_0^{+\infty}}_{=0} + 2 \int_0^{+\infty} x \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x \\ &= \frac{2}{\lambda} \underbrace{\int_0^{+\infty} \lambda x \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x}_{= 1 / \lambda} = \frac{2}{\lambda^2} \enspace. \end{align*}\]

Pertanto \(\mathrm{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}\).

La famiglia delle distribuzioni esponenziali gode di una particolare proprietà di chiusura rispetto alla scalatura delle sue specificazioni, come indicato in dettaglio di seguito.

Lemma 9

Dati \(\lambda \in \mathbb R^+\) e \(X \sim \mathrm E(\lambda)\), posto \(c > 0\) e definita \(Y \coloneqq X/c\), si ha che \(Y \sim \mathrm E(\lambda c)\).

Dimostrazione.

La funzione di ripartizione di \(Y\) è tale che per ogni \(x \in \mathbb R\), tenuto conto del fatto che \(c\) è positivo,

\[F_Y (x) = \mathbb P(Y \leq x) = \mathbb P(X \leq c x) = F_X(c x) = 1 - \mathrm e^{-\lambda c x} \enspace.\]

Nell'ultimo membro di questa uguaglianza si riconosce facilmente la ripartizione di una distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda c\).

La distribuzione esponenziale gode della proprietà di assenza di memoria che abbiamo già visto nel Paragrafo 20.4, come dimostrato nel teorema che segue.

Teorema 52

Siano \(\lambda \in \mathbb R^+\) e \(X \sim \mathrm E(\lambda)\). Per ogni \(s, t \in \mathbb R^+\), si ha

\[\mathbb P(X > s+t \mid X > s) = \mathbb P(X > s) \enspace.\]

Dimostrazione.

Ricordando che \(\mathbb P(X > s) = 1 - F_X(s) = \mathrm e^{-\lambda s}\), dalla definizione di probabilità condizionata si ottiene

\[\begin{align*} \mathbb P(X > s+t \mid X > s) &= \frac{\mathbb P(\left\{ X > s+t \right\} \cap \left\{ X > s \right\})} {\mathbb P(X > s)} \\ &= \frac{\mathbb P(X > s+t)}{\mathbb P(X > s)} = \frac{\mathrm e^{-\lambda(s + t)}}{\mathrm e^{-\lambda s}} = \mathrm e^{-\lambda s} = \mathrm P(X> s) \enspace, \end{align*}\]

ovvero la tesi.

Pertanto le distribuzioni geometrica ed esponenziale sono accomunate dal soddisfare la proprietà di assenza di memoria. Si potrebbe anche dimostrare che non vi sono altre distribuzioni che hanno questa proprietà. In generale, queste due distribuzioni sono fortemente legate dal fatto di modellare bene, sotto opportune condizioni, il concetto di tempo di attesa, intesa come quantificazione del tempo necesario prima del verificarsi di un evento prefissato. Nel caso della distribuzione geometrica, i possibili istanti temporali sono \(t = 0, 1, 2, \dots\) e l'evento al quale siamo interessati è il successo in un particolare esperimento bernoulliano che viene ripetuto a ogni istante temporale, in condizioni di indipendenza. Nel caso della distribuzione esponenziale, invece, ogni numero reale positivo rappresenta una possibile misurazione temporale, e l'evento di cui si attende il verificarsi è definito in modo indiretto dalle seguenti proprietà:

• proprietà del processo di Poisson

21.5.1. Momenti della distribuzione esponenziale (*)

La forma analitica della funzione di distribuzione di probabilità rende particolarmente facile il calcolo della funzione generatrice dei momenti per la distribuzione esponenziale. Infatti, data \(X \sim \mathrm E(\lambda)\)

\[m_X(t) = \mathbb E \left( \mathrm e^{tX} \right) = \int_0^{+\infty} e^{tx} \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \; \mathrm d x = \frac{\lambda}{\lambda - t} \underbrace{\int_0^{+\infty}(\lambda - t) \mathrm e^{-(\lambda-t) x} \; \mathrm d x}_{=1} = \frac{\lambda}{\lambda - t} \enspace,\]

dove l'ultimo integrale nella catena di uguaglianze è uguale a \(1\) a patto che \(t < \lambda\), perché in questo caso l'integranda è la funzione di densità di probabilità di una distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda - t\). Pertanto la funzione generatrice dei momenti è correttamente definita in un intorno dell'origine. Il calcolo delle derivate di questa funzione è semplice: \(m_X'(t) = \lambda (\lambda - t)^{-2}\), \(m_X''(t) = 2 \lambda (\lambda - t)^{-3}\) e in generale \(m_X^{(n)}(t) = n! \lambda (\lambda - t)^{-(n+1)}\), così che \(m_X'(0) = 1/\lambda\) e \(m_X''(0) = 2/\lambda^2\), come precedentemente ricavato. Ricavare i primi momenti centrali non è difficile, ma è necessario effettuare dei conti un po' lunghi. Posto \(Y \coloneqq X - 1 / \lambda\), la funzione generatrice dei momenti centrali di \(X\) coincide con

\[m_Y(t) = \mathbb E \left( \mathrm e^{tY} \right) = \mathrm e^{-\frac{t}{\lambda}} m_X(t) \enspace,\]

e dunque \(m_Y(0) = m_X(0) = 1\). La derivata prima di \(m_Y\) è

\[\begin{align*} m'_Y(t) &= -\frac{1}{\lambda} \mathrm e^{-\frac{t}{\lambda}} m_X(t) + \mathrm e^{-\frac{t}{\lambda}} m'_X(t) = -\frac{1}{\lambda} \mathrm e^{-\frac{t}{\lambda}} m_X(t) + \mathrm e^{-\frac{t}{\lambda}} m_X(t) (\lambda - t)^{-1} \\ &= \mathrm e^{-\frac{t}{\lambda}} m_X(t) \left( (\lambda - t)^{-1} - \lambda^{-1} \right) = m_Y(t) \left( (\lambda - t)^{-1} - \lambda^{-1} \right) \end{align*}\]

e \(m'_Y(0) = m_Y(0) \left( \lambda^{-1} - \lambda^{-1} \right) = 0\). La derivata seconda è uguale a

\[\begin{align*} m''_Y(t) &= m'_Y(t) \left( (\lambda - t)^{-1} - \lambda^{-1} \right) + m_Y(t) (\lambda - t)^{-2} \\ &= m_Y(t) \left( \left( (\lambda - t)^{-1} - \lambda^{-1} \right)^2 + (\lambda - t)^{-2} \right) \enspace, \end{align*}\]

e quindi

\[\begin{align*} m'''_Y(t) &= m'_Y(t) \left(\! \left( (\lambda \!-\! t)^{-1} \!-\! \lambda^{-1} \right)^2 + (\lambda - t)^{-2} \!\right) + \\ & \quad \quad 2 m_Y(t) \left( \left( (\lambda \!-\! t)^{-1} \!-\! \lambda^{-1} \right) (\lambda \!-\! t)^{-2} + (\lambda \!-\! t)^{-3} \right) \\ &= m_Y(t) \left( \left( (\lambda \!-\! t)^{-1}-\lambda^{-1} \right)^3 +\left( (\lambda \!-\! t)^{-1}-\lambda^{-1} \right) (\lambda \!-\! t)^{-2} \right. + \\ & \quad \quad \left. 4 (\lambda \!-\! t)^{-3} -2 \lambda^{-1}(\lambda \!-\! t)^{-2} \right) \enspace, \end{align*}\]

il che implica che la skewness della distribuzione esponenziale vale \(\mu_3 / \sigma^3 = m'''_Y(0) \lambda^3 = 2\), indipendentemente dal valore del parametro. Infine,

\[\begin{align*} m^{(4)}_Y(t) &= m'_Y(t) \left( \left( (\lambda \!-\! t)^{-1}-\lambda^{-1} \right)^3 + \left( (\lambda \!-\! t)^{-1}-\lambda^{-1} \right) (\lambda \!-\! t)^{-2} \right. \\ & \quad \quad \left. + 4 (\lambda \!-\! t)^{-3} -2 \lambda^{-1} (\lambda \!-\! t)^{-2} \right) \\ & \quad \quad + m_Y(t) \left( 3 \left( (\lambda \!-\! t)^{-1}-\lambda^{-1} \right)^2 (\lambda \!-\! t)^{-2} + 3 (\lambda \!-\! t)^{-4} -2 \lambda^{-1} (\lambda \!-\! t)^{-3} \right. \\ & \quad \quad \left. + 12 (\lambda \!-\! t)^{-4} -4 \lambda^{-1}(\lambda \!-\! t)^{-3} \right) \end{align*}\]

e la curtosi della distribuzione esponenziale risulta uguale a \(\mu_4 / \sigma^4 - 3 = m^{(4)}_Y(0) \lambda^4 -3 = 6\), anche in questo caso indipendentementedal valore del parametro.

21.5.2. Quantili della distribuzione esponenziale (*)

Essendo la funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale particolarmente facile da invertire, è possibile ricavare una forma analitica per i quantili, come mostrato di seguito.

Lemma 10

Dati \(\lambda \in \mathbb R^+\) e \(X \sim \mathrm E(\lambda)\), per ogni \(q \in [0, 1)\) si ha

\[\xi_X^q = -\frac{1}{\lambda} \ln (1 - q) \enspace.\]

Dimostrazione.

Risolvendo \(F_X(\xi_X^q) = q\) rispetto a \(\xi_X^q\) si ottiene

\[\mathrm e^{-\lambda \xi_X^q} = 1 - q \enspace,\]

e dunque la tesi.

Corollario 10

La mediana di una distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda \in \mathbb R^+\) è il valore \(\ln 2 / \lambda\). Il primo e il terzo quartile della stessa distribuzione valgono rispettivamente \((\ln 4 - \ln 3) / \lambda\) e \(\ln 4 / \lambda\), mentre il suo range interquartile è uguale a \(\ln 3 / \lambda\).

Dimostrazione.

Applicando il Lemma 10 per \(q = 1/2, 1/4 \text{ e } 3/4\) e utilizzando le proprietà dei logaritmi si ottiene che:

• la mediana della distribuzione è \(-\frac{1}{\lambda} \ln \frac{1}{2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\);

• il primo quartile è \(-\frac{1}{\lambda} (\ln 3 - \ln 4) = \frac{\ln 4 - \ln 3}{\lambda}\);

• il terzo quartile è \(-\frac{1}{\lambda} \ln \frac{1}{4} = \frac{\ln 4}{\lambda}\).

Il range interquartile si ottiene calcolando la sottrazione tra il terzo e il primo quartile:

\[\mathrm{IQR} = \frac{\ln 4}{\lambda} - \frac{\ln 4 - \ln 3}{\lambda} = \frac{\ln 3}{\lambda} \enspace.\]

▶ Mostra codice

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 0.3))

lambda_ = 1
first_quartile = (np.log(4) - np.log(3)) / lambda_
median = np.log(2) / lambda_
third_quartile = np.log(4) / lambda_

lw = 1
height = 0.2

ax.plot([median, median], [-height, height], c='k', linewidth=1.5)

ax.plot([0, 0], [-.1, .1], c='k', linewidth=lw)
ax.plot([0, first_quartile], [0, 0], c='k', linewidth=lw)

ax.plot([first_quartile, first_quartile], [-height, height],
         c='k', linewidth=lw)

ax.plot([third_quartile, third_quartile], [-height, height],
         c='k', linewidth=lw)

ax.plot([first_quartile, third_quartile], [height, height],
         c='k', linewidth=lw)
ax.plot([first_quartile, third_quartile], [-height, -height],
         c='k', linewidth=lw)

ax.plot([third_quartile, third_quartile*1.2], [0, 0], c='k', linewidth=lw)
ax.plot([third_quartile*1.2, third_quartile*1.8], [0, 0],
         'k--', linewidth=lw)

ax.text(0, -0.5, '0', ha='center')
ax.text(median, -0.5, r'$\ln 2/\lambda$', ha='center')

ax.axis('off')
pad = 2
ax.set_xlim(0-pad, 2.5+pad) 
fig

Figura 104 Diagramma a scatola per la distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda = 1\). Il baffo a destra della scatola è parzialmente tratteggiato per enfatizzare il fatto che si estende fino a \(+\infty\).

21.5.3. Implementazione del modello esponenziale

In scipy.stats si ottiene un oggetto che descrive una distribuzione esponenziale utilizzando la funzione expon. Come per tutti i modelli continui, quando si invoca questa funzione senza specificare il valore per alcun parametro, l'oggetto restituito fa riferimento a una distribuzione specifica nella famiglia esponenziale, e precisamente quello che corrisponde al parametro \(\lambda = 1\). Se si vuole utilizzare una distribuzione esponenziale per un generico valore \(\lambda\) del parametro, è necessario specificare l'argomento scale [1], impostandolo a \(1 / \lambda\). Ciò è dovuto al fatto che, in generale, il valore indicato per scale modifica la deviazione standard della distribuzione, che nel caso del modello esponenziale è uguale, appunto, a \(1 / \lambda\).

---

[1]

Come per tutte le altre distribuzioni implementate in scipy.stats, è anche possibile specificare un valore per il parametro loc, con l'effetto di modificare la centralità della distribuzione ottenuta, traslandola verso destra esattamente di una quantità uguale al valore che è stato specificato. Ciò significa pertanto che l'oggetto ottenuto invocando expon non descrive una distribuzione all'interno della famiglia esponenziale, semplicemente perché il suo dominio non è \(\mathbb R^+\).