18. Il concetto di probabilità#

Come ho scritto all'inizio del libro, citando la legge di Franklin, quasi nulla è certo. Le decisioni che prendiamo — nella vita quotidiana così come nello studio e nel lavoro — si basano quasi sempre su informazioni incomplete. Decidere se portare con noi un ombrello, stimare quanto tempo servirà per trovare un bug o capire se conviene rifare un esercizio prima dell’esame: in tutti questi casi dobbiamo fare i conti con qualcosa che non sappiamo, o che non possiamo sapere con precisione. Diventa dunque importante saper gestire questo tipo di situazioni.

Il termine «incertezza» è in realtà piuttosto generico e copre casistiche molto diverse tra loro. Alcuni concetti, per esempio, sono definiti in modo vago: che cosa significa dire che una persona è «alta», che un esame è «facile», o che un supereroe è «forte»? In altri casi l'incertezza è di natura epistemica: il fenomeno è ben definito, ma non si dispone di tutte le informazioni necessarie per conoscerne l'esito — un'incertezza che, in linea di principio, potrebbe essere eliminata. Per esempio, le domande di un tema d'esame sono determinate giorni prima della prova, ma gli studenti non le conoscono finché non si presentano allo scritto. Io mi concentrerò qui su un terzo tipo di incertezza, detta aleatoria. In questi casi, anche supponendo di ripetere un’osservazione più volte nelle stesse condizioni, il risultato può cambiare in modo imprevedibile. Per esempio, non possiamo sapere a priori quale canzone parte quando si attiva la riproduzione casuale di una playlist, o se in un fumetto pescato a caso da uno scatolone comparirà Visione. Situazioni di questo tipo vengono descritte e analizzate attraverso il concetto di probabilità, che è basato su due entità fondamentali, che per il momento introduco in modo informale:

esperimento casuale, che individua una procedura che, pur essendo eseguita sempre nelle stesse condizioni, può produrre risultati diversi (come l'ascolto della playlist o la scelta di un fumetto negli esempi precedenti);
evento, inteso come proprietà che può essere verificata o meno in seguito all’esecuzione di un esperimento aleatorio (il fatto che la prima canzone sia di un dato genere, o il fatto che Visione compaia nel fumetto).

Intuitivamente, la probabilità quantifica quanto sia verosimile che un certo evento si verifichi, utilizzando un numero compreso tra \(0\) e \(1\). Zero significa «impossibile», uno significa «certo», e tutto il resto sta nel mezzo. Risulta invece decisamente meno facile chiarire quale sia il senso di questo numero, cioè esprimere che cosa significa attribuire una probabilità a un evento. In merito a ciò, come è ragionevole aspettarsi, ci sono diverse scuole di pensiero. Senza alcuna pretesa di esaustività, accenno di seguito a due delle più conosciute.

Secondo l’interpretazione frequentista, la probabilità di un evento è il limite della frequenza relativa con cui esso si verifica in una lunga serie di esperimenti identici ed eseguiti in modo indipendente. Per esempio, la probabilità di ottenere «testa» lanciando una moneta si approssima effettuando molti lanci e osservando la proporzione di volte in cui effettivamente si ottiene «testa» come risultato.
Nell’interpretazione soggettivista, la probabilità rappresenta invece il grado di fiducia che un soggetto attribuisce al verificarsi di un evento, sulla base delle informazioni a sua disposizione in un dato istante. Secondo questa accezione, uno sviluppatore potrebbe ritenere che una libreria scritta da un collega sia esente da bug con probabilità \(0.7\); se analizzando la test suite distribuita con il codice scoprisse che questa è particolarmente scarna, lo sviluppatore potrebbe rivedere al ribasso questo valore di probabilità.

Chiaramente, ogni interpretazione ha i suoi limiti e i suoi punti di forza, che in questa sede non è il caso di approfondire. Peraltro, in molte situazioni pratiche le due interpretazioni sopra elencate portano agli stessi risultati quantitativi. Conoscerle è in ogni caso utile, perché aiutano a comprendere come si possa dare senso ai numeri che vengono calcolati, così come a inquadrare meglio i risultati teorici e le metodologie del calcolo delle probabilità.

Dal punto di vista matematico, esistono molti modi diversi di formalizzare il concetto di probabilità, ciascuno motivato da esigenze teoriche o applicative specifiche. Alcune formalizzazioni mettono l’accento sulla ripetizione di esperimenti, altre sull’aggiornamento dell’informazione, altre ancora sulla struttura logica degli eventi. Di fatto, però, per introdurre didatticamente il calcolo delle probabilità si utilizza quasi sempre una formalizzazione assiomatica, proposta all’inizio del secolo scorso. Questo libro non fa eccezione, perché si tratta di un approccio che fornisce una base matematica solida ed elegante, che oltretutto non dipende da una delle particolari interpretazioni precedentemente introdotte. In altre parole, la formalizzazione non entra nel merito del significato della probabilità, ma ne descrive il comportamento matematico. Ed è proprio questa separazione tra significato e struttura formale che rende il calcolo delle probabilità uno strumento potente e applicabile in contesti molto diversi tra loro.