18.1. Esperimenti, esiti ed eventi

Come ho descritto all'inizio di questo capitolo, alla base di ogni ragionamento di tipo probabilistico si trova un esperimento casuale: un'esperienza non deterministica formalizzata nella definizione seguente.

Indicherò gli esperimenti casuali utilizzando le lettere maiuscole corsive, come \(\mathscr E\), \(\mathscr F\) e così via, scegliendo ove possibile lettere legate al significato dell'esperimento stesso.

Definizione 11 (Esperimento casuale)

Un esperimento casuale (o aleatorio) è una qualsiasi esperienza che può dare risultati differenti quando essa viene ripetuta più volte partendo da condizioni iniziali identiche.

Esempio 22

Immaginiamo di acquistare tutte le settimane un nuovo numero di un fumetto dei Fantastici 4: ogni volta i contenuti saranno diversi, permettendoci di considerare per esempio gli esperimenti casuali che seguono:

• \(\mathscr P\): controllare se il numero totale di occorrenze della Donna invisibile è pari,

• \(\mathscr O\): verificare quale sia il colore degli occhi del primo supereroe che compare nel fumetto,

• \(\mathscr C\) elencare l'ordine di apparizione dei Fantastici 4,

• \(\mathscr N\): contare il numero di diversi supereroi presenti, e

• \(\mathscr A\): misurare l'altezza (in cm.) dell'ultimo supereroe che compare nel fumetto.

Denoterò gli esiti usando le lettere minuscole dell'alfabeto greco, utilizzando possibilmente \(\omega\) (omega minuscola) o alcune sue varianti.

Definizione 12 (Esito)

Ogni possibile risultato \(\omega\) di un esperimento casuale \(\mathscr E\) prende il nome di esito.

Esempio 23

Facendo riferimento agli esperimenti introdotti nell’Esempio 22, un esempio di esito è «falso» per \(\mathscr P\), «azzurro» per \(\mathscr O\), «Torcia umana, Donna invisibile, Mister Fantastic, Cosa» per \(\mathscr C\), \(3\) per \(\mathscr N\) e \(183\) per \(\mathscr A\).

L'insieme di tutti gli esiti di un esperimento casuale, che rappresenta il punto iniziale della modellazione matematica che userò per introdurre il concetto di probabilità, prende il nome di spazio degli esiti.

Lo spazio degli esiti viene spesso anche chiamato spazio campionario o insieme universo, e in letteratura esistono notazioni alternative che lo denotano usando per esempio le lettere \(S\) e \(U\).

Definizione 13 (Spazio degli esiti)

L'insieme di tutti i possibili esiti di un generico esperimento casuale \(\mathscr E\) viene chiamato spazio degli esiti, e lo si denota usualmente tramite la lettera \(\Omega\) (omega maiuscola).

Esempio 24

La 17 descrive lo spazio degli esiti per ognuno degli esperimenti casuali presi in considerazione nell’Esempio 22. Va notato che la scelta per \(\Omega_\mathscr O\) è arbitraria.

Tabella 17 Esempi di spazi degli esiti per gli esperimenti casuali \(\mathscr P\), \(\mathscr O\), \(\mathscr C\), \(\mathscr N\) e \(\mathscr A\) precedentemente introdotti.

Esperimento	Spazio degli esiti
\(\mathscr P\)	\(\Omega_\mathscr P = \{ \text{vero}, \text{falso} \}\)
\(\mathscr O\)	\(\Omega_\mathscr O = \{ \text{azzurro}, \text {marrone}, \text{nero},\text{verde} \}\)
\(\mathscr C\)	\(\Omega_\mathscr C = \) insieme di tutte le permutazioni degli elementi in \(\{ \text{Mister Fantastic}, \text{Donna invisibile}, \text{Torcia umana}, \text{Cosa}\}\)
\(\mathscr N\)	\(\Omega_\mathscr N = \mathbb N\)
\(\mathscr A\)	\(\Omega_\mathscr A = \mathbb R^+\)

Definizione 14 (Evento ed evento elementare)

Fissato uno spazio degli esiti \(\Omega\), un evento è un sottoinsieme \(E \subseteq \Omega\). In particolare, se \(E = \{ \omega \}\) per qualche \(\omega \in \Omega\) si dice che \(E\) è un evento elementare. Se dopo che l'esperimento casuale alla base di \(\Omega\) è stato eseguito ed è stato ottenuto un esito \(\omega \in E\), si diche che l'evento si è verificato. In caso contrario si dice che \(E\) non si è verificato.

In questa definizione il concetto di sottoinsieme è inteso anche in senso improprio, includendo cioè \(\varnothing\) e \(\Omega\) tra i possibili sottoinsiemi. In realtà questi sottoinsiemi individuano due eventi particolarmente rilevanti:

• per definizione, \(\varnothing\) non contiene alcun esito, dunque rappresenta un evento che, indipendentemente dal risultato dell'esperimento casuale, non potrà mai verificarsi, e pertanto è detto evento impossibile;

• al contrario, \(\Omega\) contiene tutti i possibili esiti dell'esperimento, e quindi è un evento che si verificherà sempre, detto evento certo.

Il fatto che gli eventi siano definiti come insiemi non è una scelta arbitraria: permette di ereditare direttamente il vocabolario e gli strumenti della teoria degli insiemi, che nel contesto della probabilità assumono una semantica precisa. L'unione corrisponde alla disgiunzione logica: l'evento \(E \cup F\) si verifica quando si verifica almeno uno dei due tra \(E\) ed \(F\), così come l'intersezione corrisponde alla congiunzione: \(E \cap F\) si verifica solo al verificarsi di entrambi \(E\) ed \(F\), con ovvie generalizzazioni al caso di operatori \(n\)-ari. Analogamente, \(\Omega\) costituisce l'insieme universo e il complemento individua la negazione logica: \(\overline E\) si verifica se e solo se non si verifica \(E\). Infine, la relazione di sottoinsieme cattura l'implicazione logica: se \(E \subseteq F\), allora ogni esito che realizza \(E\) deve realizzare anche \(F\), pertanto \(E \rightarrow F\).

Definizione 15 (Eventi mutuamente esclusivi)

Due eventi \(E, F \in \mathsf A\) si dicono mutuamente esclusivi o disgiunti se non possono verificarsi contemporaneamente, cioè se \(E \cap F = \varnothing\).

In altre parole, il verificarsi di \(E\) esclude il verificarsi di \(F\), e viceversa. Nel linguaggio della probabilità si parla anche di eventi incompatibili.

Nella Definizione 14 ho identificato un evento con un sottoinsieme di \(\Omega\). Questa scelta appare del tutto naturale e, nel caso in cui lo spazio degli esiti sia numerabile, non crea alcuna difficoltà: tutti i sottoinsiemi di \(\Omega\) possono essere considerati eventi. Quando però \(\Omega\) non è numerabile (come accade per esempio nell'esperimento \(\mathscr A\)), non è più possibile procedere in questo modo senza rinunciare ad alcune proprietà naturali della probabilità. Entrare nei dettagli di questo problema richiede un approccio completamente diverso (e meno immediato) allo studio del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. Detto in modo molto approssimativo, in questi casi non è possibile associare una probabilità a tutti i possibili sottoinsiemi di \(\Omega\) preservando una ragionevole proprietà di additività, per cui la probabilità dell’unione di eventi disgiunti è sempre uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi, anche nel caso di unioni numerabili. In pratica, esistono sottoinsiemi così irregolari da rendere impossibile definire una probabilità su tutti gli eventi mantenendo questa proprietà. Per questo motivo si introduce una collezione di sottoinsiemi di \(\Omega\), detta algebra degli eventi, che descrive l’insieme degli eventi ai quali vogliamo assegnare una probabilità. Vedremo infatti nel Paragrafo 18.2 che questa collezione — o, più precisamente, una sua estensione — costituisce il dominio della funzione che associa a ogni evento la sua probabilità, in modo da garantire che la sopra menzionata proprietà di additività valga sempre.

\(2^\Omega\) denota l'insieme delle parti di \(\Omega\), pertanto un'algebra è un insieme di sottoinsiemi di \(\Omega\).

Definizione 16 (Algebra degli eventi)

Fissato uno spazio degli esiti \(\Omega\), un’algebra degli eventi è una qualsiasi collezione di eventi \(\mathsf A \subseteq 2^\Omega\) che:

1. contiene lo spazio degli esiti (\( \Omega \in \mathsf A\)),

2. è chiusa rispetto all'operazione di complemento (\(\forall E \in \mathsf A \; \overline E \in \mathsf A\)),

3. è chiusa rispetto all'operazione di unione (\(\forall E, F \in \mathsf A \; E \cup F \in \mathsf A\)).

Il terzo punto nella definizione precedente è collegato alla proprietà di additività: la chiusura rispetto all’unione garantisce che, dati due eventi, anche la loro unione sia ancora un evento e quindi abbia una probabilità ben definita. In particolare, nel caso di eventi disgiunti, questa proprietà permette di estendere il calcolo della probabilità all’unione di un numero finito di eventi disgiunti, per iterazione.

È lecito chiedersi come mai la Definizione 16 richieda la chiusura rispetto alle operazioni di unione e complemento, ma non rispetto all'intersezione. In realtà, ciò non è necessario, in quanto è automaticamente implicato dalla definizione stessa, unitamente ad altre proprietà, dimostrate di seguito.

Teorema 3

Un'algebra degli eventi contiene sempre l'evento impossibile.

Dimostrazione.

Sia \(\mathsf A\) un'algebra degli eventi. La Definizione 16 assicura che \(\Omega \in \mathsf A\), e applicando la proprietà di chiusura rispetto al complemento si ottiene \(\varnothing = \overline \Omega \in \mathsf A\).

Teorema 4

Un'algebra degli eventi è chiusa rispetto:

1. all'unione di un numero finito di eventi,

2. all'intersezione di un numero finito di eventi, e

3. alla differenza tra due eventi.

Dimostrazione.

Fissato \(n \in \mathbb N\), sia \(E_1, \ldots, E_n\) una successione di \(n\) eventi nell'algebra \(\mathsf A\) considerata.

Per dimostrare primo punto, definiamo \(U_r = \cup_{i=1}^r E_i\) per ogni \(r = 1, \ldots, n\) e applichiamo il principio di induzione per dimostrare che \(U_r \in \mathsf A\) per ogni \(r\). La base dell'induzione è banalmente vera: \(U_1\) coincide con \(E_1\) e dunque appartiene all'algebra. Ipotizziamo ora che per un generico \(r\) valga \(U_r \in \mathsf A\): siccome \(U_{r+1} = U_r \cup E_{r+1}\), la chiusura di \(\mathsf A\) rispetto all'unione di due insiemi implica \(U_{r+1} \in \mathsf A\).

Il secondo punto si dimostra partendo dalla legge di De Morgan \(\overline{E_1 \cap E_2} = \overline{E_1} \cup \overline{E_2}\), che equivale a \(E_1 \cap E_2 = \overline{\overline E_1 \cup \overline E_2}\). Le proprietà di chiusura rispetto a unione e complemento richieste dalla Definizione 16 implicano pertanto che \(E_1 \cap E_2 \in \mathsf A\). Per estendere questa proprietà all'intersezione di un numero finito di eventi si può applicare il principio di induzione in modo analogo a quanto fatto nella prima parte della dimostrazione.

Infine, la tesi al terzo punto si ottiene facilmente notando che \(E_1 \backslash E_2 = E_1 \cap \overline E_2\) e ricordando che per quanto visto finora \(\mathsf A\) è chiusa rispetto al complemento e all'intersezione di eventi.

In generale, l'algebra degli eventi deve essere abbastanza grande da comprendere tutti gli eventi dei quali potremmo volere ragionevolmente calcolare la probabilità, ma, nel contempo, più l'algebra è grande e più può diventare difficile associare a tutti i suoi elementi dei valori di probabilità in modo corretto e coerente, come ho spiegato sopra. Quando lo spazio degli esiti \(\Omega\) è finito, normalmente si utilizza come algebra degli eventi l'insieme delle parti \(2^\Omega\): questo perché se per ogni \(\omega \in \Omega\) si vuole poter calcolare la probabilità dell’evento elementare \(\{ \omega \}\), la sola proprietà di chiusura rispetto all'unione descritta nella Definizione 16 permette di dimostrare che ogni evento è contenuto in \(\mathsf A\).

Teorema 5 (Algebra degli eventi di uno spazio degli esiti finito)

Sia \(\mathsf A\) un'algebra degli eventi per uno spazio degli esiti finito \(\Omega\). Se \(\mathsf A\) contiene tutti gli eventi elementari, allora \(\mathsf A = 2^\Omega\).

Dimostrazione.

Un generico evento \(E \subseteq \Omega\) deve essere un insieme finito, essendo \(\Omega\) stesso finito. Quindi devono esistere \(n\) esiti \(w_1, \ldots, w_n \in \Omega\) tali che \(E = \{ w_1, \ldots, w_n \}\). Per ipotesi, per ogni \(i = 1, \ldots, n\) l'evento elementare \(\{ w_i \}\) appartiene ad \(\mathsf A\) e dunque, per il terzo assioma di Kolmogorov,

\[E = \bigcup_{i=1}^n \{ w_i \} \in \mathsf A \enspace.\]

Riassumendo, ogni \(E \subseteq \Omega\) appartiene ad \(\mathsf A\), che quindi deve essere l'insieme delle parti di \(\Omega\).

Pertanto, gli esperimenti casuali \(\mathscr P\), \(\mathscr O\) e \(\mathscr C\) saranno tipicamente associati a un'algebra degli eventi che coincide con la famiglia di tutti i possibili insiemi di eventi in \(\Omega\). Va sottolineato che questo non significa che in questi casi \(2^\Omega\) sia l'unica algebra possibile.

Esempio 25

Indipendentemente da \(\Omega\), \(\mathsf A_0 = \{ \varnothing, \Omega \}\) è sempre un'algebra degli eventi, probabilmente poco interessante perché contiene solo l'evento impossibile e l'evento certo, ma essa ha la proprietà di essere ontenuta in tutte le possibili algebre, e dunque di essere la più piccola algebra costruibile.

Esempio 26

Se consideriamo l'esperimento casuale \(\mathscr O\) e il corrispondente spazio degli esiti \(\Omega = \{ \text{Azzurro}, \text{Marrone}, \text{Nero}, \text{Verde}\}\), la collezione di eventi \(\mathsf A = \{ \varnothing, \{ \text{Azzurro}, \text{Verde}\}, \{ \text{Marrone}, \text{Nero} \}, \Omega \}\) è un'algebra, più grande di \(\mathsf A_0\) e più piccola di \(2^\Omega\), che si focalizza sugli eventi relativi a colori chiari e scuri degli occhi.

L’Esempio 26 è in realtà un caso particolare di una costruzione più generale, che permette di ottenere un'algebra a partire da una partizione dello spazio degli esiti.

Definizione 17 (Algebra indotta da una partizione)

Sia \(\Omega\) uno spazio degli esiti e sia \(\mathcal P = \{ P_1, P_2, \ldots, P_n \}\) una partizione di \(\Omega\), ovvero una famiglia di sottoinsiemi non vuoti, a due a due disgiunti e tali che \(\bigcup_{i=1}^n P_i = \Omega\). L’algebra indotta dalla partizione \(\mathcal P\) è la collezione di eventi \(\mathsf A_{\mathcal P}\) costituita da tutte le possibili unioni di elementi di \(\mathcal P\), includendo l'insieme vuoto (interpretato come l'unione di zero elementi):

\[ \mathsf A_{\mathcal P} = \left\{ \bigcup_{i \in I} P_i \quad \forall I \subseteq \{1, \ldots, n\} \right\}. \]

È immediato verificare che \(\mathsf A_{\mathcal P}\) è un'algebra: essa contiene \(\Omega\) (ottenuto come unione di tutti gli elementi della partizione), è chiusa rispetto al complemento (dato che il complemento di un'unione di elementi è l'unione degli elementi rimanenti) e rispetto all'unione (l'unione di due elementi di \(\mathsf A_{\mathcal P}\) è ancora un'unione di elementi della partizione). L’Esempio 26 corrisponde al caso particolare in cui \(\mathcal P = \{ \{ \text{Azzurro}, \text{Verde} \}, \{ \text{Marrone}, \text{Nero} \} \}\).

Potremmo, per esempio, considerare \(2^\Omega\).

Le cose si complicano quando lo spazio degli esiti è infinito, perché in questo caso è possibile costruire algebre degli eventi che sono anch'esse infinite. Abbiamo visto che la Definizione 16 implica che queste algebre sono chiuse rispetto all'unione di un numero finito di eventi, ma la stessa proprietà potrebbe non valere quando consideriamo l'unione di una famiglia infinita di eventi, come evidenziato nell'esempio che segue.

Esempio 27

Un insieme si dice cofinito se il suo complementare è finito. Concentriamoci sull'esperimento casuale \(\mathscr N\), e dal corrispondente spazio degli esiti \(\Omega = \mathbb N\) costruiamo la seguente collezione di eventi:

\[\mathsf A = \{ E \subseteq \Omega \text{ tale che } E \text{ è finito oppure cofinito} \} \enspace.\]

Intuitivamente, indicato con \(n\) il numero di supereroi diversi che compaiono in un fumetto, \(\mathsf A\) ci permette di ragionare in termini di eventi come \(E = \{ 42 \}\) oppure \(F = \{ n \mid n \leq 4 \}\) (che appartengono all'algebra perché sono finiti), ma anche di eventi quali \(G = \{ n \mid n > 10 \}\), che è descritto da un insieme cofinito. Possiamo verificare che \(\mathsf A\) è un'algebra degli eventi, come dettagliato nei punti seguenti.

1. \(\Omega \in \mathsf A\), in quanto il suo complemento è l'insieme vuoto, che è un insieme finito.

2. Se \(E \in \mathsf A\), deve essere finito o cofinito: nel primo caso \(\overline E\) è cofinito, e nel secondo è finito, dunque è garantita la chiusura ripetto all'operazione di complemento.

3. Infine, dati \(E, F \in \mathsf A\), sussistono i casi seguenti:

   • i due insiemi sono entrambi finiti, e dunque lo è anche \(E \cup F\);

   • i due insiemi sono entrambi cofiniti, il che significa che \(\overline{E \cup F} = \overline E \cap \overline F\) èun insieme finito, essendo uguale all'intersezione di due insiemi finiti;

   • uno dei due insiemi è finito, mentre l'altro è cofinito, quindi seguendo lo stesso ragionamento del punto precedente si verifica che \(\overline{E \cup F}\) è l'intersezione tra un insieme infinito e un insieme finito, e deve dunque essere finito.

   In tutti i casi abbiamo dimostrato che \(E \cup F\) oppure \(\overline{E \cup F}\) è un insieme finito, pertanto \(E \cup F \in \mathsf A\), il che significa che \(\mathsf A\) è chiusa rispetto all'unione.

Consideriamo però la successione di insiemi definita da \( P_n = \{ 2 i, i = 1, \ldots, n \} \). In generale, \(P_n\) è l'evento che si verifica quando il numero di supereroi nel fumetto è pari e minore o uguale di \(2 n\), e quindi contiene sempre un numero finito di elementi, il che implica \(P_n \in \mathsf A\) per ogni \(n\). L'evento \(P = \cup_{n=1}^{+\infty} P_n\) si verifica quindi quando in un fumetto è presente un numero pari di supereroi, e il suo complemento si verificherà quando tale numero è dispari. Dunque \(P\) non è né finito, né cofinito, e ciò implica che questo insieme non può appartenere ad \(\mathsf A\).

L’esempio precedente mostra che la chiusura rispetto a unioni finite non è sufficiente quando si considerano famiglie infinite di eventi. In particolare, a partire da una semplice algebra degli eventi non è garantito che l’unione di una famiglia numerabile di eventi sia ancora un evento, e quindi che la sua probabilità sia ben definita in modo coerente con la proprietà di additività. Per trattare in modo sistematico unioni numerabili di eventi, si introduce una struttura più ricca, detta \(\sigma\)-algebra.

Definizione 18 (\(\sigma\)-algebra degli eventi)

Ogni algebra degli eventi \(\mathsf A\) su uno spazio degli esiti \(\Omega\) è una \(\sigma\)-algebra se, oltre a rispettare le proprietà indicate nella Definizione 16, è anche chiusa rispetto all'unione di una famiglia numerabile di eventi: per ogni successione \(E_1, E_2, \ldots\) di eventi in \(\mathsf A\), si ha

\[\bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n \in \mathsf A.\]

Ogni algebra di sottoinsiemi può essere estesa a una \(\sigma\)-algebra. Intuitivamente, partendo da una famiglia di insiemi chiusa rispetto a un numero finito di operazioni, è sempre possibile «completarla» aggiungendo tutti gli insiemi necessari per garantire la chiusura anche rispetto a unioni numerabili. Il risultato è la più piccola \(\sigma\)-algebra che contiene la famiglia di partenza[1].

Possiamo ora tornare sulla definizione di evento e rifinirla. All'inizio del paragrafo ho introdotto gli eventi dicendo che erano sottoinsiemi di \(\Omega\), ma sono stato attento a non affermare che ogni sottoinsieme di \(\Omega\) fosse automaticamente un evento: come abbiamo visto subito dopo, ciò non è in generale vero. La formulazione corretta richiede infatti di fissare, insieme a \(\Omega\), una famiglia di sottoinsiemi misurabili: prima un'algebra, e da questo punto in poi, più precisamente, una \(\sigma\)-algebra \(\mathsf A\).

Definizione 19 (Spazio misurabile e insieme misurabile)

Una coppia \((\Omega, \mathsf A)\) in cui \(\mathsf A\) indica una \(\sigma\)-algebra di sottoinsiemi di \(\Omega\) viene detta spazio misurabile, e ogni insieme \(A \in \mathsf A\) viene detto insieme misurabile, o evento.

In modo informale, un insieme misurabile è un sottoinsieme di \(\Omega\) per cui ha senso decidere se l'evento corrispondente si è verificato e a cui possiamo assegnare una probabilità in modo coerente con le regole del calcolo delle probabilità. Da questo momento in avanti, dunque, chiamerò evento ogni elemento di \(\mathsf A\); equivalentemente, un sottoinsieme \(E \subseteq \Omega\) sarà un evento se e solo se è misurabile nel senso della definizione precedente. Manterrò implicita questa precisazione nel seguito.

18.1.1. Vero o falso?

Analizzate ciascuna delle seguenti affermazioni, che riguardano i concetti di esperimento, esito ed evento, e dite se è vera o falsa, motivando il vostro ragionamento. Cliccate su di essa per visualizzare la risposta corretta.

Se \(E \subseteq F\), allora ogni esito che realizza \(F\) realizza necessariamente anche \(E\).

Falsa. È il contrario: se \(E \subseteq F\), allora ogni esito che realizza \(E\) realizza anche \(F\), non viceversa. Nel linguaggio probabilistico, \(E \subseteq F\) significa che \(E\) implica \(F\), cioè il verificarsi di \(E\) garantisce il verificarsi di \(F\), ma non è detto che il verificarsi di \(F\) porti con sé il verificarsi di \(E\).

Un’algebra degli eventi è chiusa rispetto all’intersezione di due eventi.

Vera. Sebbene la Definizione 16 non lo richieda esplicitamente, per il Teorema 4 la chiusura rispetto all’intersezione è automaticamente garantita tramite la legge di De Morgan: \(E \cap F = \overline{\overline{E} \cup \overline{F}}\), e le proprietà di chiusura rispetto a unione e complemento bastano per concludere che \(E \cap F \in \mathsf{A}\).

L’insieme \(\{ \varnothing, \Omega \}\) è un’algebra degli eventi per qualunque spazio degli esiti \(\Omega\).

Vera. Come mostrato nell’Esempio 25, si tratta della più piccola algebra possibile: contiene \(\Omega\) ed è chiusa rispetto alle operazioni di complemento e di unione. Eliminare uno dei due elementi di questa algebra porta necessariamente a non rispettare uno di questi due requisiti.

Ogni \(\sigma\)-algebra è anche un’algebra degli eventi.

Vera. La Definizione 18 definisce la \(\sigma\)-algebra come un’algebra che soddisfa in aggiunta la chiusura rispetto a unioni numerabili. Una \(\sigma\)-algebra rispetta quindi tutte le proprietà di un’algebra degli eventi, e in più questa proprietà aggiuntiva.

Un’algebra degli eventi è sempre chiusa rispetto all’unione di una famiglia numerabile di eventi.

Falsa. L’Esempio 27 mostra esplicitamente un’algebra che non gode di questa proprietà: la collezione degli insiemi finiti o cofiniti di \(\mathbb{N}\) è un’algebra, ma l’unione numerabile degli insiemi \(P_n = \{2, 4, \ldots, 2n\}\) — che fornisce l’insieme di tutti i numeri pari — non vi appartiene. La chiusura rispetto alle unioni numerabili è la proprietà aggiuntiva che distingue le \(\sigma\)-algebre dalle semplici algebre.

Se \(E\) e \(F\) sono mutuamente esclusivi, allora anche \(\overline{E}\) e \(\overline{F}\) lo sono.

Falsa. Per esempio, con \(\Omega = \{1, 2, 3\}\), \(E = \{1\}\) e \(F = \{2\}\) si ha \(E \cap F = \varnothing\), ma \(\overline{E} \cap \overline{F} = \{2, 3\} \cap \{1, 3\} = \{3\} \neq \varnothing\). Più in generale, per una delle leggi di De Morgan, \(\overline{E} \cap \overline{F} = \overline{E \cup F}\), che è vuoto se e solo se \(E \cup F = \Omega\). In tutti gli altri casi i complementi non sono mutuamente esclusivi.

18.1.2. Esercizi

Esercizio 99 (•)

La S.H.I.E.L.D. monitora quotidianamente le attività degli Avengers. Per ognuna delle seguenti situazioni, identificate l'esperimento casuale, gli esiti possibili e il relativo spazio:

1. osservare quale Avenger risponde per primo a un'emergenza,

2. controllare se Thor usa Mjolnir (il suo martello) durante una missione,

3. contare il numero di cattivi sconfitti in una settimana.

Solution to Esercizio 99 (•)

1. L'esperimento è \(\mathscr R\) = osservare quale Avenger risponde per primo. Se consideriamo la formazione iniziale del Marvel Cinematic Universe (quella del primo film, pubblicato nel 2012) gli esiti possibili sono: \(\text{Iron Man}\), \(\text{Capitan America}\), \(\text{Thor}\), \(\text{Hulk}\), \(\text{Vedova Nera}\) e \(\text{Occhio di Falco}\). Lo spazio degli esiti è dunque l'insieme finito \(\Omega_{\mathscr R} = \{ \text{Iron Man}, \text{Capitan America}, \text{Thor}, \text{Hulk}, \text{Vedova Nera}, \text{Occhio di Falco} \}\).

2. L'esperimento è \(\mathscr M\) = verificare se Thor usa Mjolnir, dunque gli esiti possibili sono \(\text{vero}\) e \(\text{falso}\), e lo spazio degli esiti è \(\Omega_{\mathscr M} = \{\text{vero}, \text{falso}\}\).

3. L'esperimento è \(\mathscr C\) = contare il numero di cattivi sconfitti, e gli esiti possibili sono tutti gli interi non negativi, perché teoricamente non c'è un limite superiore al numero di cattivi che possono essere sconfitti, e non va esclusa la possibilità che non venga sconfitto alcun cattivo. Pertanto, lo spazio degli esiti è \(\Omega_{\mathscr C} = \mathbb{Z}_{\geq 0}\).

Esercizio 100 (•)

Considerate l'esperimento di scegliere casualmente un colore dei capelli nel dataset dei supereroi. Descrivete lo spazio degli esiti \(\Omega\) e indicate se è finito o infinito.

Solution to Esercizio 100 (•)

L'esperimento casuale consiste nella scelta di un colore dei capelli tra quelli presenti nel dataset. Analizziamo il dataset per determinare i valori distinti dell'attributo hair_color:

import pandas as pd

heroes = pd.read_csv('data/heroes.csv')
colori = heroes['hair_color'].dropna().unique()
print(f'Numero di colori distinti: {len(colori)}')
print(f'Colori: {sorted(colori)}')

Numero di colori distinti: 29
Colori: ['Auburn', 'Black', 'Black / Blue', 'Blond', 'Blue', 'Brown', 'Brown / Black', 'Brown / White', 'Cyan', 'Gold', 'Green', 'Grey', 'Indigo', 'Magenta', 'No Hair', 'Orange', 'Orange / White', 'Pink', 'Purple', 'Red', 'Red / Grey', 'Red / Orange', 'Red / White', 'Silver', 'Strawberry Blond', 'White', 'Yellow', 'black', 'white']

Lo spazio degli esiti è dunque l'insieme dei colori trovati, e siccome \(|\Omega|\) è un numero finito, lo spazio degli esiti è finito.

Esercizio 101 (•)

Riferendoti allo spazio degli esiti al primo punto dell’99, indicate quali tra i seguenti eventi sono elementari e quali non lo sono:

• \(E_1\): «risponde per primo Iron Man,

• \(E_2\): «risponde per primo un supereroe che può volare»,

• \(E_3\): «risponde per primo un supereroe che è verde»,

• \(E_4\): «risponde per primo un supereroe che è nato sulla Terra».

Solution to Esercizio 101 (•)

• \(E_1 = \{ \text{Iron Man} \}\) è un evento elementare perché contiene un solo esito.

• \(E_2\) contiene \(\text{Iron Man}\) e \(\text{Thor}\), dunque non è un evento elementare perché contiene più di un esito.

• \(E_3 = \{ \text{Hulk} \}\) è un insieme singoletto, dunque l'evento corrispondente è elementare.

• \(E_4 = \{ \text{Iron Man}, \text{Capitan America}, \text{Hulk}, \text{Vedova Nera}, \text{Occhio di Falco} \}\) non è un evento elementare in quanto \(| E_4 | > 1\).

Esercizio 102 (••)

Un supercattivo attacca Metropolis. Definiamo l'esperimento come l'osservazione di quale supereroe interviene. Sia \(\Omega = \{\text{Superman}, \text{Batman}, \text{Wonder Woman}, \text{Flash}, \text{Nessuno}\}\). Dati:

• \(V = \{\text{Superman}, \text{Wonder Woman}\}\) (eroi in grado di volare),

• \(I = \{\text{Batman}, \text{Wonder Woman}\}\) (eroi senza superpoteri innati),

descrivete quali eventi indicano gli insiemi: \(V \cup I\), \(V \cap I\), \(\overline{V}\), e \(V \setminus I\).

Solution to Esercizio 102 (••)

• \(V \cup I = \{ \text{Superman}, \text{Batman}, \text{Wonder Woman} \}\) è l'evento «interviene un eroe che può volare, oppure un eroe senza superpoteri innati» (o entrambe le cose).

• \(V \cap I = \{ \text{Wonder Woman} \}\): è l'evento «interviene un eroe che può volare e che non ha superpoteri innati». Wonder Woman è l'unica a soddisfare entrambe le condizioni.

• \(\overline{V} = \{ \text{Batman}, \text{Flash}, \text{Nessuno} \}\): è l'evento «non interviene un eroe che sa volare, cioè interviene un eroe che non vola oppure non interviene nessuno.

• \(V \setminus I = \{ \text{Superman} \}\): è l'evento «interviene un eroe che può volare ma che non ha superpoteri innati». Superman è l'unico eroe volante con superpoteri innati.

Esercizio 103 (••)

Sia \(\Omega = \{ \text{Fuoco}, \text{Ghiaccio}, \text{Elettricità}, \text{Telepatia} \}\) l'insieme dei poteri che può manifestare un mutante. Verificate se \(\mathsf{A} = \{ \varnothing, \{\text{Fuoco}, \text{Ghiaccio}, \{\text{Elettricità} \}, \text{Telepatia} \}, \Omega \}\) è un'algebra degli eventi su \(\Omega\).

Solution to Esercizio 103 (••)

Verifichiamo le tre proprietà richieste dalla Definizione 16 di algebra degli eventi.

1. Per definizione, \(\Omega \in \mathsf{A}\).

2. È facile verificare che il complemento di ogni elemento di \(\mathsf{A}\) appartenga ancora ad \(\mathsf{A}\):

   • \(\overline{\varnothing} = \Omega \in \mathsf{A}\),

   • \(\overline{\Omega} = \varnothing \in \mathsf{A}\),

   • \(\overline{ \{\text{Fuoco}, \text{Ghiaccio}, \text{Elettricità} \}} = \{ \text{Telepatia}\} \in \mathsf{A}\),

   • \(\overline{\{ \text{Telepatia} \}} = \{ \text{Fuoco}, \text{Ghiaccio}, \text{Elettricità} \} \in \mathsf{A}\).

3. Infine, per quanto riguarda le possibili unioni di eventi:

   • l'unione di \(\varnothing\) con un qualsiasi evento in \(\mathsf A\) è uguale a quest'ultimo, e dunque apparterrà all'algebra;

   • l'unione di un qualsiasi evento in \(\mathsf A\) e \(\Omega\) è uguale a quest'ultimo, che appartiene all'algebra;

   • \(\{ \text{Fuoco}, \text{Ghiaccio}, \text{Elettricità} \} \cup \{ \text{Telepatia} \} = \Omega \in \mathsf{A}\).

Tutte le proprietà sono soddisfatte, quindi \(\mathsf{A}\) è un'algebra degli eventi su \(\Omega\).

In realtà, questo esercizio si può risolvere molto più rapidamente, notando che \(\mathsf A\) è l'algebra indotta su \(\Omega\) dalla partizione \(\mathcal P = \{ \{ \text{Fuoco}, \text{Ghiaccio}, \text{Elettricità} \}, \{ \text{Telepatia}\} \}\).

Esercizio 104 (••)

I Guardiani della Galassia (Star-Lord, Gamora, Drax, Rocket e Groot) devono essere suddivisi per una missione. Costruite l'algebra più piccola che contenga l'evento \(E = \{\text{Rocket}, \text{Groot}\}\).

Solution to Esercizio 104 (••)

Lo spazio degli esiti è \(\Omega = \{\text{Star-Lord}, \text{Gamora}, \text{Drax}, \text{Rocket}, \text{Groot}\}\).

Per costruire l'algebra più piccola contenente \(E = \{\text{Rocket}, \text{Groot}\}\), è necessario includere:

1. \(\Omega\) (richiesto dalla definizione di algebra),

2. \(\varnothing\) (conseguenza della chiusura rispetto al complemento, dato che \(\overline{\Omega} = \varnothing\)),

3. \(E = \{\text{Rocket}, \text{Groot}\}\) (richiesto dall'esercizio),

4. \(\overline{E} = \{\text{Star-Lord}, \text{Gamora}, \text{Drax}\}\) (per la chiusura rispetto al complemento).

Verifichiamo che non servano altri elementi: le unioni con \(\varnothing\) o \(\Omega\) non generano nuovi insiemi; a parte queste, la sola unione possibile è \(E \cup \overline{E} = \Omega\) e. Pertanto l'algebra più piccola è:

\[\mathsf{A} = \{ \varnothing, \{\text{Rocket}, \text{Groot}\}, \{\text{Star-Lord}, \text{Gamora}, \text{Drax}\}, \Omega \}.\]

Anche in questo caso, notando che \(\{ \{\text{Rocket}, \text{Groot}\}, \{\text{Star-Lord}, \text{Gamora}, \text{Drax}\} \}\) è una partizione di \(\Omega\), si può direttamente dimostrare che \(\mathsf A\) è un'algebra, e in particolare la più piccola algebra contenente \(E\).

Esercizio 105 (•••)

Un dispositivo alieno genera supereroi, ognuno dei quali possiede un uno o più superpoteri. Considerate l'esperimento casuale che consiste nell'osservare il numero di poteri di un supereroe generato dal dispositivo, così che \(\Omega = \mathbb N\). Infine, sia \(\mathsf{A}\) la collezione degli insiemi finiti o cofiniti (cioè con complemento finito) contenuti in \(\Omega\). Dimostrate che:

1. \(\mathsf A\) è un'algebra;

2. per ogni \(k \in \mathbb N\), l'evento \(P_k = \{ k \}\), che si verifica quando si osservano esattamente \(k\) poteri, appartiene ad \(\mathsf{A}\);

3. l'evento \(D = \{ 1, 3, 5, 7, \ldots \}\), che si realizza quando si osserva un numero dispari di poteri, non appartiene ad \(\mathsf{A}\).

Solution to Esercizio 105 (•••)

1. \(\Omega \in \mathsf A\), in quanto il suo complemento è l'insieme vuoto, che è un insieme finito. Se \(E \in \mathsf A\), deve essere finito o cofinito: nel primo caso \(\overline E\) è cofinito, e nel secondo è finito, dunque è garantita la chiusura ripetto all'operazione di complemento. Infine, dati \(E, F \in \mathsf A\), sussistono i casi seguenti:

   • i due insiemi sono entrambi finiti, e dunque lo è anche \(E \cup F\);

   • i due insiemi sono entrambi cofiniti, il che significa che \(\overline{E \cup F} = \overline E \cap \overline F\) èun insieme finito, essendo uguale all'intersezione di due insiemi finiti;

   • uno dei due insiemi è finito, mentre l'altro è cofinito, quindi seguendo lo stesso ragionamento del punto precedente si verifica che \(\overline{E \cup F}\) è l'intersezione tra un insieme infinito e un insieme finito, e deve dunque essere finito.

   Pertanto, \(\mathsf A\) è un algebra di eventi su \(\Omega\).

2. Per ogni \(k \in \mathbb{N}\), \(| P_k | = 1 \), quindi \(P_k\) è finito e deve appartenere ad \(\mathsf{A}\).

3 . L'insieme \(D\) contiene tutti i numeri dispari, e dunque \(\overline D\) contiene i numeri pari. Ciò implica che \(D\) non sia né finito, né cofinito, e non può appartenere all'algebra.

Questo esempio mostra che \(\mathsf{A}\) non è una \(\sigma\)-algebra, perché \(D = \bigcup_{k=0}^{+\infty} P_{2k+1}\) non appartiene ad \(\mathsf{A}\), ma è esprimibile come l'unione numerabile di eventi in essa.

Esercizio 106 (••••)

Considerate l'esperimento casuale che, partendo da un gruppo di universi nel Multiverso Marvel, consiste nel selezionare a caso un universo e osservare quale versione di Spider-Man vi appare. Definite:

1. un possibile spazio degli esiti \(\Omega\) (considerando almeno cinque universi),

2. quattro eventi significativi in questo spazio, che non siano tutti eventi elementari,

3. un'algebra \(\mathsf{A}\) diversa da \(2^\Omega\) che contenga tali eventi, verificando esplicitamente le tre proprietà della Definizione 16.

Solution to Esercizio 106 (••••)

1. Consideriamo ad esempio lo spazio degli esiti che contiene le seguenti sei varianti di Spider-Man:

   \[\Omega = \{ \text{Peter Parker}, \text{Miles Morales}, \text{Gwen Stacy}, \text{Miguel O'Hara}, \text{Noir}, \text{Spider-Ham} \} \enspace.\]

2. Risulta conveniente ragionare in termini della partizione di \(\Omega\) formata dai seguenti eventi:

   • \(E_1 = \{\text{Peter Parker}, \text{Miles Morales}\}\) (gli Spider-Man della Terra principale, intesa come l'Universo Terra-1610),

   • \(E_2 = \{\text{Gwen Stacy}\}\) (Spider-Woman nell'Universo Terra-65),

   • \(E_3 = \{\text{Miguel O'Hara}\}\) (Spider-Man nell'Universo del futuro Terra-928),

   • \(E_4 = \{\text{Noir}, \text{Spider-Ham}\}\) (due Spider-Man negli Universi alternativi Terra-90214 e Terra-8311).

3. Possiamo costruire l'algebra generata dalla partizione \(\mathcal P\) considerata al punto precedente:

   \[ \mathsf{A}_{\mathcal P} = \{ \varnothing, E_1, E_2, E_3, E_4, E_1 \cup E_2, E_1 \cup E_3, E_1 \cup E_4, E_2 \cup E_3, E_2 \cup E_4, E_3 \cup E_4, \\ E_1 \cup E_2 \cup E_3, E_1 \cup E_2 \cup E_4, E_1 \cup E_3 \cup E_4, E_2 \cup E_3 \cup E_4, \Omega \} \enspace, \]

   che aggrega \(|\mathsf{A}| = 2^4 = 16\) elementi ed è dunque più piccola dell'insieme delle parti di \(\Omega\).

Esercizio 107 (••••)

Nell’Esempio 27 del testo, l'algebra \(\mathsf{A}\) non è una \(\sigma\)-algebra. Immaginate un universo parallelo, nel quale tutti i fumetti hanno sempre un numero finito di supereroi (diciamo, al massimo \(1000\)). In questo caso, la stessa costruzione produrrebbe una \(\sigma\)-algebra? Giustificate la risposta.

Solution to Esercizio 107 (••••)

In questo caso la costruzione produrrebbe effettivamente una \(\sigma\)-algebra. Lo spazio degli esiti è finito perché \(\Omega = \{0, 1, 2, \ldots, 1000\}\), e pertanto ogni suo sottoinsieme di \(\Omega\) è anch'esso finito. Di conseguenza, l'algebra \(\mathsf{A}\) degli insiemi finiti o cofiniti coincide con l'insieme delle parti di \(\Omega\). Infatti:

• ogni \(E \subseteq \Omega\) è finito (perché \(\Omega\) è finito), quindi \(E \in \mathsf{A}\);

• \(\mathsf{A}\) è finita, quindi le unioni numerabili sono sempre composte da un numero finito di eventi, e quindi appartengono sempre ad \(\mathsf{A}\).

In altre parole, l’insieme delle parti di un insieme finito è sempre una \(\sigma\)-algebra (anzi, è la più grande \(\sigma\)-algebra possibile su quell’insieme). Il problema nell’Esempio 27 sorge proprio perché \(\Omega = \mathbb{N}\) è infinito: esistono sottoinsiemi infiniti (come l’insieme dei numeri pari) il cui complemento è anch’esso infinito, e tali insiemi non appartengono all’algebra degli insiemi finiti o cofiniti. Quando \(\Omega\) è finito, questa situazione non può verificarsi.

18.1.3. Concetti fondamentali

Pensate ai concetti fondamentali illustrati in questo paragrafo ed elencateli. Nella lista qui sotto sono già presenti gli stessi concetti, ma nascosti. Cliccate sul pulsante per mostrarli sotto forma di parole chiave, quindi confrontateli con la vostra lista. Provate infine a descrivere ciascun concetto con parole vostre.

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[1]

L'estensione di un'algebra a una \(\sigma\)-algebra si può formalizzare in modo preciso considerando l'intersezione di tutte le \(\sigma\)-algebre che contengono la famiglia di partenza. In questo modo si ottiene la più piccola \(\sigma\)-algebra che la contiene, detta \(\sigma\)-algebra generata. Per i nostri scopi, però, basta sapere che questo completamento esiste; i dettagli tecnici della costruzione sono fuori dallo scopo di questo libro.