17. Teoria degli insiemi

Nel 1895, Georg Cantor propose una definizione capace di catturare con estrema efficacia l'idea intuitiva di insieme: «per molteplicità o insieme intendo ogni molti che si può pensare come uno» [1]. In quest'ottica, un insieme è un raggruppamento di oggetti distinti accomunati da una qualche proprietà. Poco dopo, lo stesso Cantor affinò la sua definizione: «per "insieme" intendiamo qualsiasi collezione \(M\) di oggetti \(m\) della nostra intuizione o del nostro pensiero — detti "elementi" di \(M\) — che siano tra loro ben distinti» [Cantor, 1895].

Pochi anni dopo, la comunità matematica scoprì che questo approccio, oggi noto come teoria ingenua degli insiemi, nascondeva insidie logiche e paradossi; per evitarli, si rese necessario rifondare la materia su un sistema assiomatico molto più rigoroso [Suppes, 1972]. Nonostante ciò, in questo libro ho scelto di adottare la prospettiva ingenua: sebbene meno formale, essa mi permette di mantenere la trattazione semplice e focalizzata sugli obiettivi didattici di questo libro, senza appesantire troppo il discorso. D'altronde, come osserva Rudy Rucker, è significativo che la parola set (insieme) vanti la definizione più lunga tra tutti i termini dell'Oxford English Dictionary [Rucker, 1982].

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[1]

Traduzione dall'originale: "Unter einer 'Mannigfaltigkeit' oder 'Menge' verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele, welches sich als Eines denken lässt" [Cantor, 1883]. L'enfasi in corsivo nella traduzione italiana è stata aggiunta da me per sottolineare il contrasto concettuale tra pluralità e unità.