20.3. Le distribuzioni uniformi discrete

Dopo quello di Bernoulli, l'esperimento casuale più semplice è molto probabilmente quello in cui \(\Omega\) contiene un numero finito di esiti caratterizzati dal fatto che la probabilità dei relativi eventi elementari è costante. Abbiamo visto come il relativo spazio di probabilità, che viene per ovvie ragioni detto equiprobabile, permette di modellare varie situazioni del mondo reale come ad esempio quelle relative a molti giochi d'azzardo. In questi casi, posto \(\Omega = \{ e_1, \dots, e_n\}\), la variabile aleatoria \(X: \Omega \to \{ 1, \dots, n \}\) tale che \(X(e_i) = i\) per ogni \(i = 1, \dots, n\), che dunque associa agli esiti un numero intero progressivo partendo da \(1\), è caratterizzata da una distribuzione appartenente alla famiglia uniforme discreta, definita qui di seguito.

Definizione 47

Fissato \(n \in \mathbb N\), la distribuzione uniforme discreta di parametro \(n\) è definita dalla funzione di massa di probabilità

\[f(x; n) = \frac{1}{n} \mathrm I_{\{1, \dots n\}}(x) \enspace.\]

Per indicare che una variabile aleatoria \(X\) segue una siffatta distribuzione utilizzerò la notazione \(X \sim \mathrm U(N)\). L'insieme di tutte le distribuzioni uniformi discrete al variare del relativo parametro prende il nome di famiglia delle distribuzioni uniformi continue.

Chiaramente, l'equiprobabilità degli esiti nell'esperimento casuale che origina una variabile aleatoria uniforme discreta si riflette nell'equiprobabilità per le corrispondenti specificazioni. Come conseguenza, la funzione di ripartizione aumenta in modo costante, tenendo conto del suo andamento costante a tratti.

Teorema 39

Datpo \(n \in \mathbb N\), la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria \(X \sim \mathrm U(n)\) è tale che

\[F_X(x; n) = \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \mathrm I_{[1, n)}(x) + \mathrm I_{[n, +\infty)}(x) \; \forall x \in \mathbb R \enspace.\]

Dimostrazione.

Chiaramente, per ogni \(x < 1 \) si ha \(F_X(x; n) = 0\) in quanto l'evento \(X \leq x\) ha probabilità nulla, tenuto conto del fatto che le specificazioni della distribuzione uniforme discreta partono da \(1\). Sempre a causa del fatto che le specificazioni sono numeri interi, inoltre, per ogni \(x \in [1, n]\) gli eventi \(X \leq x\) e \(X \leq \lfloor x \rfloor\) sono equivalenti e dunque hanno la stessa probabilità, per cui

\[F_X(x; n) = \mathbb P(X \leq \lfloor x \rfloor) = \sum_{i \leq \lfloor x \rfloor} f_X(i; n) = \sum_{i = 1}^{\lfloor x \rfloor} \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \enspace.\]

Infine, per ogni \(x > 1\) si ha \(F_X(x; n) = 1\) in quanto \(x\) è maggiore della massima specificazione della variabile aleatoria. Mettendo insieme questi tre casi si ottiene la tesi.

20.3.1. Valore atteso e varianza della distribuzione uniforme discreta

Il valore atteso e la varianza per le distribuzioni appartenenti alla famiglia uniforme discreta si calcolano in modo abbastanza semplice, sfruttando alcune sommatorie notevoli.

Teorema 40

Dato \(n \in \mathbb N\) e una variabile aleatoria \(X \sim \mathrm U(n)\),

\[\mathbb E(X) = \frac{n+1}{2} \enspace.\]

Dimostrazione.

Applicando la definizione di valore atteso si ha

\[\mathbb E(X) = \sum_{x=1}^n x f_X(x; n) = \sum_{x=1}^n \frac{x}{n} = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2} \enspace,\]

dove il penultimo passaggio sfrutta la formula nota (A.1).

In modo analogo si calcola anche la varianza di questa distribuzione.

Teorema 41

Dato \(n \in \mathbb N\) e una variabile aleatoria \(X \sim \mathrm U(n)\),

\[\mathrm{Var}(X) = \frac{n^2-1}{12} \enspace.\]

Dimostrazione.

Il momento secondo si calcola in modo analogo al valore atteso:

\[\mathbb E\left( X^2 \right) = \sum_{x=1}^n x^2 f_X(x; n) = \sum_{x=1}^n \frac{x^2}{n} = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2 = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} = \frac{(n+1)(2n + 1)}{6} \enspace,\]

dove il penultimo passaggio si basa sull'applicazione di (A.2). Applicando a questo punto (19.11) si ottiene

\[\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \mathbb E\left( X^2 \right) - \mathbb E(X)^2 = \frac{(n+1)(2n + 1)}{6} - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 \\ &= \frac{n+1}{2} \left(\frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right) = \frac{n+1}{2} \frac{4n + 2 - 3n - 3}{6} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} \enspace, \end{align*}\]

da cui si ottiene la tesi.

Come nel caso delle altre distribuzioni discrete, i grafici delle funzioni di massa di probabilità e di ripartizione corrispondono rispettivamente a un grafico a bastoncini e alla visualizzazione di una funzione costante a tratti, come mostrato in Figura 71. Anche in questo caso, è possibile modificare il valore di \(n\) per visualizzare come cambiano questi due grafici.

▶ Mostra codice

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from pyscript import display
from pyscript.web import page, when


n_1 = int(page['#n'][0].value)

x_1 = np.arange(1, n_1 + 1)
y_1 = np.ones(n_1) / n_1
cdf_1 = y_1.cumsum()

fig_1, ax_1 = plt.subplots()

cdf_y = [0] + list(cdf_1)
cdf_xmin = list(range(0, n_1 + 1))
cdf_xmax = list(range(1, n_1 + 1)) + [20]
cdf = ax_1.hlines(cdf_y, cdf_xmin, cdf_xmax)
pmf_lines = ax_1.vlines(x_1, 0, y_1, color='k')
pmf_dots = ax_1.plot(x_1, y_1, 'o')[0]

ax_1.set_xlabel('$x$', fontsize=12, ha='right')
ax_1.set_ylabel('$f, F$', fontsize=12, rotation=0)
ax_1.set_xlim(-1, 21)
ax_1.set_ylim(0, 1.1)
ax_1.set_xticks(range(0, 21, 2))

@when("input", "#n")
def uniform_plot(event):
    n_1 = int(page['#n'][0].value)
    page['#n-value'][0].innerHTML = f'{n_1}'

    x_1 = np.arange(1, n_1 + 1)
    y_1 = np.ones(n_1) / n_1
    cdf_1 = y_1.cumsum()

    cdf_y = [0] + list(cdf_1)
    cdf_xmin = list(range(0, n_1 + 1))
    cdf_xmax = list(range(1, n_1 + 1)) + [20]
    cdf_segments = [[[xmin, y_val], [xmax, y_val]] 
                    for y_val, xmin, xmax in zip(cdf_y, cdf_xmin, cdf_xmax)]

    cdf.set_segments(cdf_segments)
    
    # Update PMF vertical lines
    pmf_segments = [[[xi, 0], [xi, yi]] for xi, yi in zip(x_1, y_1)]
    pmf_lines.set_segments(pmf_segments)

    pmf_dots.set_data(x_1, y_1)
    
    display(fig_1, target='graph-1', append=False)

display(fig_1, target='graph-1', append=False)

\( n \): 10

Figura 71 I grafici delle funzioni di massa di probabilità e di ripartizione per il modello uniforme discreto.

20.3.2. Momenti della distribuzione uniforme discreta (*)

Dato \(n \in \mathbb N\), per ogni \(t \in \mathbb R\) vale

Nella prima uguaglianza, ho applicato la trasformazione \(j = x - 1\) agli indici della sommatoria.

\[\sum_{x=1}^n \mathrm e^{t x} = \sum_{j=0}^{n-1} \mathrm e^{t(j+1)} = \mathrm e^t \sum_{j=0}^{n-1} \mathrm e^{t j} = \mathrm e^t \sum_{j=0}^{n-1} \left(\mathrm e^t \right)^j \enspace.\]

L'ultima sommatoria ottenuta rappresenta la somma parziale della serie geometrica, pertanto

\[\sum_{x=1}^n \mathrm e^{t x} = \mathrm e^t \frac{1 - \left(\mathrm e^{t}\right)^n}{1 - \mathrm e^t} = \mathrm e^t \frac{1 - \mathrm e^{n t}}{1 - \mathrm e^t} \enspace.\]

La funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria \(X \sim \mathrm U(n)\) è quindi individuata da

\[m_X(t) = \mathbb E \left( \mathrm e^{tX} \right) = \sum_{x=1}^n \frac{1}{n} \mathrm e^{t x} = \frac{\mathrm e^t \left( 1 - \mathrm e^{n t} \right)} {n \left( 1 - \mathrm e^t \right)} \enspace.\]

Nel caso delle distribuzioni uniformi continue, in realtà, calcolare i momenti utilizzando la corrispondente funzione generatrice risulta abbastanza scomodo, perché calcolare le derivate di quest'ultime non è particolarmente agevole. Diventa invece relativamente meno complesso applicare direttamente le definizioni di momento e di momento centrale. Per quanto riguarda la prima categoria di momenti si avrà quindi, per ogni \(i \in \mathbb N\),

\[\mu'_i = \mathbb E \left( X^i \right) = \sum_{x=1}^n \frac{1}{n} x^i = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^i \enspace,\]

da cui segue immediatamente, ricordando le formule da (A.1) a (A.4),

\[\begin{align*} \mu'_1 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x = \frac{1}{n} \frac{n (n+1)}{2} = \frac{n+1}{2} \enspace, \\ \mu'_2 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2 = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} = \frac{(n+1)(2n + 1)}{6} \enspace, \\ \mu'_3 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^3 = \frac{1}{n} \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)^2}{4} \enspace, \\ \mu'_4 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^4 = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)}{30} = \frac{(n+1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)}{30} \enspace. \end{align*}\]

Anche il calcolo del momento centrale \(i\)-esimo si può effettuare in modo relativamente agevole, calcolando direttamente \(\mathbb E\left( \left( X - \frac{n+1}{2} \right)^i \right)\) e ottenendo

Questi calcoli sono abbastanza lunghi (soprattutto per quanto riguarda \(\mu_4\)), ma richiedono solo di armarsi di pazienza e di fare riferimento, come per i momenti, alle formule note che calcolano la somma dei primi \(n\) numeri elevati alle potenze che vanno da uno a quattro.

\[\begin{align*} \mu_1 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n \left( x - \frac{n+1}{2} \right) = \frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n+1}{2} = 0 \enspace, \\ \mu_2 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n \left( x - \frac{n+1}{2} \right)^2 = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2 - \frac{n+1}{n} \sum_{x=1}^n x + \frac{(n+1)^2}{4} \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{2} + \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 - 1}{12} \enspace, \\ \mu_4 &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n \left( x - \frac{n+1}{2} \right)^4 \\ &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^4 - 2 \frac{n+1}{n} \sum_{x=1}^n x^3 + \frac{6}{n} \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 \sum_{x=1}^n x^2 - \frac{4}{n} \left( \frac{n+1}{2} \right)^3 \sum_{x=1}^n x + \left( \frac{n+1}{2} \right)^4 \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} - \frac{n(n+1)^3}{2} + \frac{(n+1)^2(2n+1)}{2} - \frac{(n+1)^4}{4} + \frac{(n+1)^4}{16} \\ &= \frac{(n^2 - 1)(3n^2 - 7)}{240} \enspace. \end{align*}\]

La seconda uguaglianza conferma quanto già sappiamo relativamente alla varianza della distribuzione. Non ho calcolato il momento centrale terzo perché la distribuzione è chiaramente simmetrica attorno al suo valore atteso e quindi questo momento si annulla, così come è nulla la skewness della distribuzione. Il quarto momento permette infine di ottenere che la curtosi della distribuzione è

\[\frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{(n^2 - 1)(3n^2 - 7)}{240} \frac{144}{n^2 - 1} - 3 = \frac{6(3n^2 - 7)}{10(n^2 - 1)} - 3 = -\frac{6}{5} \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1} \enspace,\]

che è negativa per ogni intero \(n > 1\). Escludendo quindi il caso \(n=1\), nel quale peraltro la distribuzione degenera in una costante, le distribuzioni uniformi discrete sono sempre bradicurtiche: se confrontate con una distribuzione normale di pari valore atteso e varianza, tendono a produrre meno valori fuori scala. Questa cosa è abbastanza ovvia, tenuto conto del fatto che, a differenza di quella normale, la distribuzione uniforme discreta ha un supporto finito. La figura Figura 72 mostra il grafico skewness-curtosi per la famiglia delle distribuzioni uniformi discrete.

▶ Mostra codice

fig, ax = plt.subplots()

n = np.arange(2, 10)
skewness = [0] * len(n)
kurtosis = -6/5 * (n**2 + 1) / (n**2 - 1)

ax.plot(skewness, kurtosis, 'o')
fig

Figura 72 Grafico skewness-curtosi per il modello uniforme discreto.

20.3.3. Quantili della distribuzione uniforme discreta (*)

A partire dalla forma analitica per la funzione di ripartizione ottenuta all'inizio del Paragrafo, si ricava la seguente relazione che vale per qualsiasi quantile della distribuzione uniforme discreta: ricordando che fissati \(n \in \mathbb N\) e \(X \sim \mathrm U(n)\) vale

\[F_X(x; n) = \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \mathrm I_{[0, n)}(x) + \mathrm I_{[n, +\infty)}(x) \enspace,\]

e che per ogni \(q \in [0, 1]\) il quantile di livello \(q\) è definito come \(x_q = \arg\min_x \{F_X(x; n) \geq q \}\), si hanno i seguenti casi:

• se \(q < 1/n\), per ogni \(x < 1\) si ha \(F_X(x; n) = 0 < q\), e quindi non esiste il corrispondente quantile;

• se \(q = i / n\) per qualche \(i \in \{ 1, 2, \dots, n \}\), si ha \(x_q = \arg\min_x \{ \lfloor x \rfloor \geq i \} = i = nq\);

• nei casi rimanenti si ha necessariamente che \(q = \frac{i}{n} + \epsilon\) per qualche \(i \in \{ 1, 2, \dots, n-1 \}\) e qualche \(\epsilon \in (0, \frac{1}{n})\), e pertanto

L'ultima uguaglianza si ottiene verificando che \(i = nq - n\epsilon\), ed essendo \(0 < n\epsilon < 1\) si ha come risultato che \(i \in [nq - 1, nq]\), da cui segue \(i = \lfloor nq \rfloor\) e \(i+1 = \lceil np \rceil\).

\[x_q = \arg\min_x \left\{ \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \geq \frac{i}{n} + \epsilon \right\} = \arg\min_x \{ \lfloor x \rfloor \geq i + n \epsilon \} = i + 1 = \lceil n q \rceil \enspace.\]

Riassumendo, \(x_q = \lceil nq \rceil\) per ogni \(q \in (1/n, 1]\), mentre in tutti gli altri casi il quantile non esiste. La Figura 73 e la Figura 74 illustrano i diagrammi a scatola per due distribuzioni uniformi discrete, rispettivamente di parametro \(n = 40\) e \(n = 10\).

▶ Mostra codice

def unif_discr_quantile(q, n):
    if q < 1/n:
        raise ValueError(f'the quantile of a uniform discrete distribution '
                         f'of parameter {n!r} does not exist for all levels '
                         f'smaller than {1/n!r}.')
    return int(np.ceil(n*q))

def unif_discr_bp(n):

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 0.3))

    third_quartile = unif_discr_quantile(0.75, n)
    median = unif_discr_quantile(0.5, n)
    first_quartile = unif_discr_quantile(0.25, n)

    lw = 1
    height = 0.2

    ax.plot([median, median], [-height, height], c='k', linewidth=1.5)

    ax.plot([1, 1], [-.1, .1], c='k', linewidth=lw)
    ax.plot([1, first_quartile], [0, 0], c='k', linewidth=lw)

    ax.plot([first_quartile, first_quartile], [-height, height],
            c='k', linewidth=lw)

    ax.plot([third_quartile, third_quartile], [-height, height],
            c='k', linewidth=lw)

    ax.plot([first_quartile, third_quartile], [height, height],
            c='k', linewidth=lw)
    ax.plot([first_quartile, third_quartile], [-height, -height],
            c='k', linewidth=lw)

    ax.plot([third_quartile, n], [0, 0], c='k', linewidth=lw)
    ax.plot([n, n], [-.1, .1], c='k', linewidth=lw)

    ax.text(1, -0.4, '1', ha='center')
    ax.text(n, -0.4, f'{n}', ha='center')

    ax.text(median, -0.5,
            f'{median}',
            ha='center')

    ax.text(first_quartile, 0.4,
            f'{first_quartile}',
            ha='center')

    ax.text(third_quartile, 0.4,
            f'{third_quartile}',
            ha='center')

    ax.axis('off')
    pad = .5
    ax.set_xlim(0-pad, third_quartile*1.5+pad)

    return fig

fig = unif_discr_bp(40)
fig

Figura 73 Il grafico a scatola per la distribuzione uniforme discreta di parametro \(n=40\).

▶ Mostra codice

fig = unif_discr_bp(10)
fig

Figura 74 Il grafico a scatola per la distribuzione uniforme discreta di parametro \(n=10\).

20.3.4. La forma generalizzata della distribuzione uniforme discreta (*)

Nel caso in cui gli \(n\) esiti possibili di un esperimento equiprobabile vengano trasformati in interi successivi, ma senza necessariamente partire da \(1\), la distribuzione della variabile aleatoria \(X\) che ne risulta è leggermente diversa rispetto a quella che abbiamo finora studiato. Ciò è dovuto al fatto che, se indichiamo con \(a \in \mathbb Z\) la più piccola delle immagini degli esiti, il supporto della variabile aleatoria diventa ora l'insieme \(\{a, a+1, \dots, a+n \}\), o equivalentemente l'insieme di tutti i numeri interi compresi tra \(a\) e \(b = a + n\), estremi inclusi. Per brevità mi riferirò a tale insieme chiamandolo intervallo discreto[1] e indicandolo tramite la notazione \([a..b]\). Fissati \(a, b \in \mathbb Z\) con \(a < b\), dirò che una variabile aleatoria \(X\) segue una distribuzione uniforme discreta generalizzata su \([a..b]\), abbreviandolo tramite la notazione \(X \sim \mathrm U([a..b])\), se la sua funzione di massa di probabilità è tale che per ogni \(x \in \mathbb R\)

\[f_X(x; a, b) = \frac{1}{b - a + 1} \mathrm I_{[a..b]}(x) \enspace.\]

Si può facilmente verificare che la variabile aleatoria \(X' = X - a + 1\) segue una distribuzione uniforme discreta di parametro \(b - a + 1\). Pertanto la funzione di ripartizione per \(X'\) coincide con la funzione costante a tratti che si ottiene considerando la funzione di ripartizione di \(X\) e traslandola a destra di una quantità pari ad \(a - 1\), ottenendo dunque una funzione costante a tratti che è inizialmente nulla e cresce di una quantità \(\frac{1}{b - a + 1}\) in corrispondenza di ogni intero nell'insieme \([a..b]\). Inoltre il valore atteso della distribuzione generalizzata è

\[\mathbb E(X) = \mathbb E(X' + a) = \mathbb E(X) + a - 1 = \frac{b - a + 2}{2} + a - 1 = \frac{a + b}{2} \enspace,\]

e si posiziona correttamente nel punto medio del più piccolo intervallo che contiene il supporto della variabile aleatoria. Infine, essendo la varianza insensibile alle traslazioni si avrà che

\[\mathrm{Var}(X) = \mathrm{Var}(X') = \frac{(b - a + 1)^2 - 1}{12} \enspace.\]

20.3.5. Implementazione dellla distribuzione uniforme discreta

L'implementazione delle distribuzioni uniformi discrete in scipy.stats passa attraverso la funzione randint, che in realtà permette di fare riferimento alla formulazione descritta nel Paragrafo 20.3.4. In particolare, l'invocazione di randint(a, b) restituisce un oggetto relativo alla distribuzione uniforme discreta sull'insieme \(\{a, \dots, b-1\}\). Pertanto, specificando come argomenti di questa funzione rispettivamente \(1\) e \(n-1\) si ottiene un oggetto collegato alla distribuzione \(\mathrm U(n)\), come esemplificato nella cella seguente, il cui codice visualizza i grafici delle funzioni di massa di probabilità e di ripartizione nel caso \(n=7\) già illustrato in precedenza.

▶ Mostra codice

import scipy.stats as st

n = 7
fig, axes = plt.subplots(1, 2, sharey=True)

(ax_pdf, ax_cdf) = axes
X = st.randint(1, n+1)
x = np.arange(-1, n+2, 0.01)
observations = np.arange(1, n+1)

ax_cdf.step(x, X.cdf(x))
ax_pdf.vlines(observations, 0, X.pmf(observations), color='k')
ax_pdf.plot(observations, X.pmf(observations), 'o', color='k')

for ax in axes:
    ax.set_ylim(0, 1.1)
    ax.set_xticks(observations)
    ax.set_xlabel(r'$x$')

ax_cdf.set_ylabel(r'$F_X$', rotation='horizontal')
ax_pdf.set_ylabel(r'$f_X$', rotation='horizontal')

ax_cdf.set_xlim(-1, n+2)
ax_pdf.set_xlim(0, n+1)

fig

La Figura 75 mostra inoltre come utilizzare il metodo rvs su un oggetto relativo a una distribuzione uniforme discreta, così da simulare l'osservazione di \(5000\) sue specificazioni, il cui grafico delle frequenze relative viene confrontato con quello della rispettiva funzione di massa di probabilità. Nella versione interattiva del libro è possibile modificare il valore del parametro \(n\), preimpostato a \(7\).

▶ Mostra codice

import pandas as pd
import scipy.stats as st

fig_sim, ax_sim = plt.subplots()
console.log('uno'

@when("input", "#n-sim, #m-sim")
def discrete_uniform_simulation(event):

    n_sim = int(page['#n-sim'][0].value)
    page['#n-sim-value'][0].innerHTML = f'{n_sim}'
    m_sim = int(page['#m-sim'][0].value)

    U_sim = st.randint(1, n_sim + 1)
    x_sim = U_sim.rvs(m_sim)

    freq_sim = pd.Series(x_sim).value_counts(normalize=True)
    freq_sim = freq_sim.reindex(np.arange(1, n_sim + 1), fill_value=0).values

    ax_sim.clear()
    x_sim = np.arange(1, n_sim + 1)
    ax_sim.bar(x_sim, freq_sim, facecolor='lightgray', edgecolor='gray', width=.1)

    ax_sim.vlines(x_sim, 0, U_sim.pmf(x_sim))
    ax_sim.plot(x_sim, U_sim.pmf(x_sim), 'o')

    ax_sim.set_xlim(-1, 21)
    ax_sim.set_ylim(0, 1.1)

    display(fig_sim, target='graph-2', append=False)

discrete_uniform_simulation(None)

\( n \): 10

\( m \): 5 50 500 5000

Figura 75 Diagramma a barre delle frequenze di un insieme di osservazioni estratte da un modello uniforme discreto, sovrapposto al diagramma a bastoncini della corrispondente funzione di massa di probabilità.

---

[1]

Il concetto classico di intervallo coinvolge i numeri reali compresi tra due estremi, ma fissata una relazione di ordine totale si può banalmente estendere questo concetto modificando l'insieme di partenza. Pertanto ha senso definire l'intervallo intero delimitato da \(a\) e \(b\) come l'insieme \(\{x \in \mathbb Z \text{ tale che } a \leq x \leq b\}\). Gli intervalli interi sono relativamente poco utilizzati nella matematica classica, ma ampiamente presenti nelle formalizzazioni presenti nelle branche più moderne di questa disciplina, e ancora di più in quelle relative all'informatica. Per questo motivo, non vi è unanimità nella letteratura scientifica relativamente a una notazione compatta da usare per definire un intervallo discreto: molto spesso viene utilizzato \([a..b]\), ma anche \(a..b\) è molto diffuso, e sono presenti altre opzioni, come per esempio \([[a, b]]\) (volendo, si può evitare di introdurre una notazione nuova, scrivendo \([a, b] \cap \mathbb Z\), che risulta però un po’ troppo prolisso). Va notato, infine, che venendo meno la proprietà di continuità, non ha più senso parlare di intervalli discreti aperti, chiusi o semiaperti. Sebbene sia in linea di principio possibile definire per esempio \((a..b) \triangleq [a+1..b-1]\), mantenendo quindi la possibilità di considerare insiemi di valori compresi tra due estremi escludendo questi ultimi, ho scelto di evitare di complicare ulteriormente la notazione già non universalmente accettata, riferendomi sempre a intervalli discreti i cui estremi sono sempre inclusi nell'insieme in questione.