19.7. Indipendenza di variabili aleatorie

L'ultimo risultato riguarda le somme di variabili aleatorie indipendenti, ed è il motivo principale per cui la funzione generatrice dei momenti è uno strumento tanto usato: trasforma una somma di variabili aleatorie in un prodotto di funzioni.

Teorema 32

Siano date \(n\) variabili aleatorie \(X_1, \dots, X_n\) tra loro indipendenti e ciascuna avente la stessa distribuzione di una variabile aleatoria \(X\), della quale \(m_X\) indica la funzione generatrice dei momenti. Posto \(Y \triangleq \sum_{i=1}^n X_i\), si ha

\[m_Y(t) = \left( m_X(t) \right)^n \enspace.\]

Dimostrazione.

La funzione generatrice dei momenti di \(Y\) è tale che

\[m_Y(t) = \mathbb E\left( \mathrm e^{tY} \right) = \mathbb E\left( \mathrm e^{t\sum_{i=1}^n X_i} \right) = \mathbb E\left( \prod_{i=1}^n \mathrm e^{t X_i} \right) = \prod_{i=1}^n \mathbb E\left( \mathrm e^{t X_i} \right) = \prod_{i=1}^n m_X(t) = \left( m_X(t) \right)^n \enspace,\]

dove il terzultimo passaggio è giustificato dall'indipendenza di \(X_1, \dots, X_n\).

Nell'Esempio 119 avevamo già osservato una funzione generatrice della forma \(\left( m_X(t) \right)^n\): il numero di duplicati riusciti è infatti la somma di due variabili indipendenti, ciascuna delle quali vale \(1\) o \(0\) a seconda che il singolo tentativo riesca oppure no. Nel prossimo capitolo useremo ripetutamente questo teorema per ricavare la distribuzione di somme di variabili aleatorie con la stessa distribuzione.